Модули упругости

Мо́дули упру́гости (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства однородного материала при малых изотермических деформациях. Обычно модулями упругости называют постоянные коэффициенты, входящие в обобщённый закон Гука, записанный в виде линейных зависимостей компонент тензора напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ от компонент тензора деформаций ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$. В самом общем случае анизотропный материал описывается 21 независимым модулем упругости, изотропный – 2 независимыми модулями упругости.

Модули упругости изотропного материала можно определить, например, из эксперимента на растяжение цилиндрического образца кругового сечения. Если в ходе эксперимента измеряются растягивающее усилие ${\displaystyle P}$ (сила, приложенная вдоль оси), осевое удлинение ${\displaystyle \Delta l}$ и изменение диаметра ${\displaystyle \Delta d}$, то можно вычислить осевое напряжение ${\displaystyle \sigma _{1}=P/S}$, продольную деформацию ${\displaystyle \epsilon _{1}=\Delta l/l}$ и поперечную деформацию ${\displaystyle \epsilon _{2}=\Delta d/d}$. Здесь ${\displaystyle S}$ – площадь поперечного сечения, ${\displaystyle l}$ – длина, ${\displaystyle d}$ – диаметр образца. Эксперименты показывают, что при малых деформациях существует область, в пределах которой величины ${\displaystyle E=\sigma _{1}/\epsilon _{1}}$ и ${\displaystyle \nu =G\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}$ являются постоянными. Константа ${\displaystyle E}$ называется модулем Юнга, или модулем продольной упругости, константа ${\displaystyle \nu }$ – коэффициентом Пуассона, или коэффициентом поперечной деформации. Для различных материалов ${\displaystyle 0\leqslant \nu \leqslant 0,5}$, причём ${\displaystyle \nu =0,5}$ соответствует несжимаемому материалу. Характерные значения ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \nu }$ для некоторых материалов следующие: сталь ${\displaystyle E=(1,9-2,2)\cdot 10^{11}}$ Па, ${\displaystyle \nu =0,24-0,33}$; латунь ${\displaystyle E=(0,9-1,1)\cdot 10^{11}}$ Па, ${\displaystyle \nu =0,32-0,42}$; титан ${\displaystyle E=1,08\cdot 10^{11}}$ Па, ${\displaystyle \nu =0,29}$.

Закон Гука для изотропного материала с использованием модулей упругости ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \nu }$ записывается в виде

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1+\nu }{E}}(\sigma _{ij}-\delta _{ij}{\frac {\nu }{1+\nu }}\sigma )}$.

Здесь ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ при ${\displaystyle i=j}$ и ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ при ${\displaystyle i\neq j}$; ${\displaystyle \sigma =(1/3)(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})}$. Закон Гука может быть записан и через другие модули упругости: ${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \theta \delta _{ij}+2\mu \epsilon _{ij}}$, где ${\displaystyle \theta =\epsilon _{11}+\epsilon _{22}+\epsilon _{33}}$ – относительное изменение объёма; ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ – модули упругости, называемые параметрами Ламе.

Наряду с упомянутыми выше модулями упругости на практике часто используются модуль объёмного сжатия ${\displaystyle K}$, характеризующий способность тела сопротивляться изменению объёма, не сопровождающемуся изменением формы, и модуль сдвига ${\displaystyle G}$, характеризующий способность тела сопротивляться изменению формы без изменения объёма. Модуль ${\displaystyle K}$ можно определить, например, из эксперимента по нагружению образца гидростатическим давлением ${\displaystyle p}$, если удаётся измерить изменение объёма образца; тогда ${\displaystyle K=-p/\theta }$. Модуль ${\displaystyle G}$ может быть определён при испытании тонкостенного трубчатого образца на кручение с замером крутящего момента ${\displaystyle M}$ и угла закручивания ${\displaystyle \phi }$ одного торца относительно другого. Тогда ${\displaystyle G=\tau /\gamma }$, где ${\displaystyle \tau }$ – сдвиговое напряжение, ${\displaystyle \gamma }$ – сдвиговая деформация, причём ${\displaystyle \tau =M/(2\pi R^{2}h)}$, ${\displaystyle \gamma =\phi R/l}$, ${\displaystyle R}$ – радиус образца, ${\displaystyle l}$ – его длина, ${\displaystyle h}$ – толщина. Модули упругости связаны между собой следующими соотношениями:

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\nu )}},\quad \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}},\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}},\quad G=\mu }$.

Независимыми константами являются любые два модуля упругости, например ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle G}$.

Модули упругости не являются строго постоянными величинами для одного и того же материала: они зависят от предварительной термической и химической обработки, уменьшаются с ростом температуры (например, у стали марки 40 значения ${\displaystyle E}$, выраженные в 10¹¹ Па, при температурах 20 °С, 100 °С, 300 °С, 500 °С равны соответственно 2,14; 2,10; 1,98; 1,80).