Момент сопротивления

Моме́нт сопротивле́ния, геометрическая характеристика поперечного сечения бруса, определяющая зависимость наибольших нормальных (при изгибе) или касательных (при кручении) напряжений в сечении от величины изгибающего или крутящего моментов. Различают момент сопротивления осевой (при изгибе) и полярный (при кручении).

Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной центральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удалённой точки поперечного сечения: ${\displaystyle W_{x}={\frac {I_{x}}{Y_{\text{макс}}}}}$, ${\displaystyle W_{y}={\frac {I_{y}}{X_{\text{макс}}}}}$.

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса, расположенного в центре тяжести поперечного сечения, до наиболее удалённой точки сечения: ${\displaystyle W_{p}={\frac {I_{p}}{\rho _{\text{макс}}}}}$. Размерность момента сопротивления – кубический метр.

При расчёте на прочность бруса максимально нормальные (при изгибе) и касательные (при кручении) напряжения вычисляются по формулам: ${\displaystyle \sigma _{\text{макс}}={\frac {M_{\text{изг}}}{W_{x}}}}$, ${\displaystyle \tau _{\text{макс}}={\frac {M_{\text{кр}}}{W_{\text{р}}}}}$. Для круглого сечения радиуса ${\displaystyle R}$ имеем ${\displaystyle W_{x}={\frac {\pi R^{3}}{4}}}$ и ${\displaystyle W_{p}={\frac {\pi R^{3}}{2}}}$; для прямоугольного сечения со сторонами ${\displaystyle b}$ (параллельной главной оси) и ${\displaystyle h}$ (перпендикулярной ей) – ${\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}}$.

Если поперечное сечение бруса не симметрично относительно оси изгиба, а материал имеет разные пределы прочности на растяжение и сжатие, то необходимо определять напряжения по обоим краям бруса и соответственно вычислять два момента сопротивления. Например, для бруса треугольного сечения (рис.) момент инерции ${\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{36}}}$. Момент сопротивления относительно нижних волокон ${\displaystyle W_{x{\text{н}}}={\frac {I_{x}}{\frac {h}{3}}}={\frac {bh^{2}}{12}}}$, верхних – ${\displaystyle W_{x{\text{в}}}={\frac {I_{x}}{\frac {2h}{3}}}={\frac {bh^{2}}{24}}}$.