Консервативное семейство

Консервати́вное семе́йство, семейство ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ подмножеств топологического пространства, обладающее свойством: для любого ${\displaystyle T\subset S}$ имеет место равенство:

${\displaystyle \displaystyle {\overline {\bigcup _{s\in T}\ A_{s}}}=\bigcup _{s\in T}{\overline {A_{s}}}}$

(другими словами, замыкание объединения любого его подсемейства совпадает с объединением замыканий элементов этого подсемейства); это условие эквивалентно следующему: для любого ${\displaystyle T\subset S}$ множество ${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{s\in T}{\overline {A_{s}}}}$ замкнуто. В частности, семейство замкнутых множеств консервативно тогда и только тогда, когда объединение любого его подсемейства является замкнутым множеством.

Любое подсемейство консервативного семейства консервативно. Cемейство ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ консервативно в том и только том случае, если консервативно семейство ${\displaystyle \{{\overline {A_{s}}}\}_{s\in S}}$.

Свойство консервативности семейства инвариантно в сторону образа относительно замкнутых отображений и в сторону прообраза относительно открытых отображений, т. е.:

а) если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ – замкнутое отображение и ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ – консервативное в ${\displaystyle X}$ семейство, то семейство ${\displaystyle \{f\left(A_{s}\right)\}_{s\in S}}$ консервативно в ${\displaystyle Y}$;

б) если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ – открытое отображение и ${\displaystyle \{B_{s}\}_{s\in S}}$ – консервативное в ${\displaystyle Y}$ семейство, то семейство ${\displaystyle \{f^{-1}\left(B_{s}\right)\}_{s\in S}}$ консервативно в ${\displaystyle X}$.

Понятие консервативного семейства, важное при изучении свойств типа паракомпактности, было введено Э. Майклом (Michael. 1957) под названием семейства, «сохраняющего замыкания» (англ. closure-preserving). Русский термин «консервативное семейство» был введён в школе П. С. Александрова.