Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости (о предельном переходе под знаком интеграла), пусть на множестве ${\displaystyle E}$ задана последовательность измеримых функций ${\displaystyle f_{n}(x)}$, которая сходится почти всюду (или по мере) на ${\displaystyle E}$ к функции ${\displaystyle f(x)}$; если на ${\displaystyle E}$ существует такая суммируемая функция ${\displaystyle \Phi (x)}$, что ${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leqslant \Phi (x)}$ при всех ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle x}$, то ${\displaystyle f_{n}(x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ суммируемы на ${\displaystyle E}$ и

${\displaystyle {\ce {\lim _{n->\infty }\int _{E}f_{n}(x)\,dx=\int _{E}f(x)\,dx}}}$.

Впервые доказана А. Л. Лебегом (1910). Важный частный случай ${\displaystyle \Phi (x)=\operatorname {const} }$ и ${\displaystyle E}$ с конечной мерой, также называемый теоремой Лебега, был им получен раньше (Lebesgue. 1902^[1]).

Иногда теоремой Лебега называют теорему, впервые доказанную Б. Леви (1906): пусть на множестве ${\displaystyle E}$ задана неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций ${\displaystyle 0\leqslant f_{1}(x)\leqslant f_{2}(x)\leqslant \ldots }$ и

${\displaystyle {\ce {f(x)=\lim _{n->\infty }f_{n}(x)}}}$

почти всюду, тогда

${\displaystyle {\ce {\lim _{n->\infty }\int _{E}f_{n}(x)\,dx=\int _{E}f(x)\,dx}}}$.