Теорема Радона – Никодима

Теоре́ма Радо́на – Никоди́ма, у заряда ${\displaystyle \nu }$, абсолютно непрерывного относительно некоторой меры ${\displaystyle \mu }$, существует плотность ${\displaystyle p={d\nu }/{d\mu }}$ относительно ${\displaystyle \mu }$, суммируемая по этой мере. Установлена И. Радоном и О. Никодимом. Toчнее, пусть на измеримом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}})}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — некоторая ${\displaystyle \sigma }$-алгебра подмножеств ${\displaystyle X}$, определены заряд ${\displaystyle \nu }$, т. е. счётно-аддитивная действительная или комплексная функция, заданная на ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, и мера ${\displaystyle \mu }$, причём заряд ${\displaystyle \nu }$ абсолютно непрерывен относительно ${\displaystyle \mu }$. Тогда существует такая суммируемая по мере ${\displaystyle \mu }$ функция ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle x\in X}$, что для любого множества ${\displaystyle A\in {\mathfrak {B}}}$ имеет место

${\displaystyle \displaystyle v(A)=\int _{A}p(x)\,d\mu (x)}$.

Функция ${\displaystyle p}$ единственна (с точностью до изменения на множестве нулевой ${\displaystyle \mu }$-меры) и называется плотностью заряда ${\displaystyle \nu }$ относительно меры ${\displaystyle \mu }$. Имеются (см. Данфорд H., Шварц Д., 1962^[1]) обобщения этой теоремы на случай, когда заряд принимает значения из некоторого векторного пространства.