Интеграл Лебега – Стилтьеса

Интегра́л Лебе́га – Сти́лтьеса, обобщение интеграла Лебега. Для неотрицательной меры ${\displaystyle \mu }$ название «интеграл Лебега – Стилтьеса» употребляется в том случае, когда ${\displaystyle X=R^{n}}$ и ${\displaystyle \mu }$ не есть мера Лебега; тогда интеграл${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$ определяется так же, как интеграл Лебега в общем случае. Если мера ${\displaystyle \mu }$ знакопеременная, то ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$, где ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ – неотрицательные меры, и интеграл Лебега – Стилтьеса определяется как

${\displaystyle \int _{X}fd\mu =\int _{X}fd\mu _{1}-\int _{X}fd\mu _{2}}$

при условии, что оба интеграла в правой части существуют. Для ${\displaystyle X=R^{1}}$ счётная аддитивность и ограниченность меры ${\displaystyle \mu }$ эквивалентны тому, что мера порождена некоторой функцией ${\displaystyle \Phi }$ ограниченной вариации. В таком случае интеграл Лебега – Стилтьеса записывается в виде ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d\Phi }$. Для дискретной меры интеграл Лебега – Стилтьеса представляет собой числовой ряд.