Достижимая граничная точка

Достижи́мая грани́чная то́чка, совокупность точки границы области и класса эквивалентных путей, ведущих изнутри области в эту точку. Пусть ${\displaystyle \xi }$ – точка границы ${\displaystyle \partial G}$ области ${\displaystyle G}$ на плоскости комплексного переменного ${\displaystyle z}$ и пусть существует путь с уравнением ${\displaystyle z=z(t)}$, где функция ${\displaystyle z(t)}$ определена и непрерывна на некотором отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$, ${\displaystyle z(t)\in G}$ при ${\displaystyle \alpha \leqslant t<\beta ,z(\beta )=\xi }$. Тогда говорят, что этот путь ведёт в точку ${\displaystyle \xi }$ (изнутри ${\displaystyle G}$) и определяет достижимую граничную точку, изображаемую точкой ${\displaystyle \xi }$. Два пути, ведущие в ${\displaystyle \xi }$, называются эквивалентными (или определяющими одну и ту же достижимую граничную точку), если существует третий путь, также ведущий в ${\displaystyle \xi }$ изнутри ${\displaystyle G}$ и имеющий с каждым из рассматриваемых двух путей непустые пересечения внутри ${\displaystyle G}$ в любой близости от ${\displaystyle \xi }$. Совокупность точки ${\displaystyle \xi \in \partial G}$ и класса эквивалентных путей, ведущих в ${\displaystyle \xi }$ изнутри ${\displaystyle G}$, называется достижимой граничной точкой области ${\displaystyle G}$. Не всякая точка ${\displaystyle \xi \in \partial G}$ изображает достижимую граничную точку; с другой стороны, одна и та же точка ${\displaystyle \xi \in \partial G}$ может изображать несколько, и даже бесконечное множество, различных достижимых граничных точек.

Достижимая граничная точка является единственной точкой граничного элемента 1-го рода; (многоточечный) граничный элемент 2-го рода содержит ровно одну достижимую граничную точку, а граничные элементы 3-го и 4-го родов не содержат достижимых граничных точек. Каждая точка границы жордановой области является достижимой граничной точкой.