Соответствие Галуа

Соотве́тствие Галуа́ между частично упорядоченными множествами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M^{\prime }}$, пара отображений ${\displaystyle {\ce {\varphi :M->M^{\prime }}}}$ и ${\displaystyle {\ce {\psi :M^{\prime }->M}}}$, удовлетворяющих следующим условиям:

если ${\displaystyle a\leqslant b}$, то ${\displaystyle a\varphi \geqslant b\varphi }$;

если ${\displaystyle a^{\prime }\leqslant b^{\prime }}$, то ${\displaystyle a^{\prime }\psi \geqslant b^{\prime }\psi }$ ; ${\displaystyle a\varphi \psi \geqslant a}$ и ${\displaystyle a^{\prime }\psi \varphi \geqslant a^{\prime }}$.

Здесь ${\displaystyle a,b\in M}$, ${\displaystyle a^{\prime }}$, ${\displaystyle b^{\prime }\in M^{\prime }}$.

Понятие соответствия Галуа тесно связано с понятием замыкания в частично упорядоченном множестве, а именно, если между ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M^{\prime }}$ установлено соответствие Галуа, то равенства ${\displaystyle {\bar {a}}=a\varphi \psi }$, ${\displaystyle a\in M}$, и ${\displaystyle {\bar {a}}^{\prime }=a^{\prime }\psi \varphi }$, ${\displaystyle a^{\prime }\in M^{\prime }}$, определяют отношения замыкания в множествах ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M^{\prime }}$ соответственно. Понятие соответствия Галуа возникло из теории Галуа, где изучается соответствие Галуа между всеми промежуточными подполями расширения ${\displaystyle P\subseteq K}$ поля ${\displaystyle P}$ и системой подгрупп группы Галуа этого расширения.