Аналитическое отображение

Аналити́ческое отображе́ние, аналитический морфизм, морфизм аналитических пространств, рассматриваемых как окольцованные пространства. Аналитическое отображение пространства ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$в пространство ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ есть пара ${\displaystyle (f_{0},f_{1})}$, где

${\displaystyle f_{0}:X\to Y}$

– непрерывное отображение, а

${\displaystyle f_{1}:f_{0}^{-1}({\mathcal {O}}_{Y})\to {\mathcal {O}}_{X}}$

– гомоморфизм пучков колец на ${\displaystyle X}$. В случае комплексных пространств аналитическое отображение называют также голоморфным отображением.

В случае, когда${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ – приведённые аналитические пространства, гомоморфизм ${\displaystyle f_{1}}$ полностью определяется отображением ${\displaystyle f_{0}}$ и является обратным отображением ростков функций, отвечающим ${\displaystyle f_{0}}$. Таким образом, в этом случае аналитическое отображение – это такое отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$, что для любого ${\displaystyle x\in X}$ и любого ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}_{f(x)}}$ имеет место ${\displaystyle \varphi \circ f\in {\mathcal {O}}_{x}}$.

Слоем аналитического отображения

${\displaystyle f=(f_{0},f_{1}):(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

в точке ${\displaystyle y\in Y}$ называется аналитическое подпространство

${\displaystyle f^{-1}(y)={\big (}f_{0}^{-1}(y),\,{\mathcal {O}}_{X}/f_{1}(m_{y}){\mathcal {O}}_{x}|f_{0}^{-1}(y){\big )}}$

пространства ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, где ${\displaystyle m_{y}\in {\mathcal {O}}_{y}}$ – пучок ростков функций, обращающихся в ${\displaystyle 0}$ в точке ${\displaystyle y}$. Если положить

${\displaystyle d(x)={\rm {dim}}_{x}f^{-1}(f_{0}(x)),\quad x\in X}$,

то имеет место неравенство

${\displaystyle {\rm {dim}}_{x}X\leq {\rm {dim}}_{f_{0}(x)}Y+d(x).}$ (*)

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – приведённые комплексные пространства, то для всякого ${\displaystyle l\geq 0}$ множество

${\displaystyle X_{l}=\{x\in X|d(x)\geq l\}}$

является аналитическим в ${\displaystyle X}$.

Аналитическое отображение ${\displaystyle f=(f_{0},f_{1})}$ называется плоским в точке ${\displaystyle x\in X}$, если ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,\,x}}$ является плоским модулем над кольцом ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f_{0}(x)}}$. В этом случае неравенство (*) превращается в равенство. Аналитическое отображение называется плоским, если оно плоское в каждой точке ${\displaystyle x\in X}$. Плоское аналитическое отображение комплексных пространств является открытым. Верно и обратное: если ${\displaystyle f_{0}}$ открыто, ${\displaystyle Y}$ гладко, а ${\displaystyle X}$ и все слои приведены, то ${\displaystyle f}$ – плоское аналитическое отображение. Множество точек комплексного или жёсткого аналитического пространства ${\displaystyle X}$, у которых аналитическое отображение ${\displaystyle f}$ не является плоским, будет аналитическим в ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – приведённые комплексные пространства, причём ${\displaystyle X}$ имеет счётную базу, то в ${\displaystyle Y}$ существует открытое всюду плотное множество, над которым ${\displaystyle f}$ – плоское аналитическое отображение. Если аналитическое отображение

${\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

комплексных пространств плоско, то множества тех ${\displaystyle x\in X}$, в которых слой ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ не приведён или ненормален, являются аналитическими в ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$.

Пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ – аналитическое отображение приведённых комплексных пространств. Если ${\displaystyle \operatorname {dim} X<\infty }$, то существует стратификация

${\displaystyle \emptyset =X(-1)\subseteq X(0)\subseteq \dots \subseteq X(r)\subseteq \dots }$,

где ${\displaystyle X(r)}$ – аналитические множества и ${\displaystyle X(r)=X}$ для больших ${\displaystyle r}$, со следующим свойством: всякая точка ${\displaystyle x\in X(r)\setminus X(r-1)}$ обладает такой окрестностью ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle f(U\cap X(r))}$ – локальное аналитическое множество в ${\displaystyle Y}$, все неприводимые компоненты ростка которого в точке ${\displaystyle f(x)}$ имеют размерность ${\displaystyle r}$. В частности, если ${\displaystyle f}$ собственное, то ${\displaystyle f(X)}$ – аналитическое множество в ${\displaystyle X}$. Этот факт является частным случаем теорем конечности для аналитических отображений.

Пусть ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ – комплексные пространства, причём ${\displaystyle X}$ компактно. Тогда множество ${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,Y)}$ всех аналитических отображений ${\displaystyle f:X\to Y}$ можно снабдить такой структурой комплексного пространства, что отображение

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,Y)\times X\to Y}$,

переводящее пару ${\displaystyle (f,x)}$ в ${\displaystyle f_{0}(x)}$, аналитично. В частности, группа автоморфизмов компактного комплексного пространства ${\displaystyle X}$ является комплексной группой Ли, аналитически действующей на ${\displaystyle X}$.