Гиперболическое множество

Гиперболи́ческое мно́жество гладкой динамической системы ${\displaystyle \left\{S^{t}\right\}}$, компактное подмножество ${\displaystyle F}$ фазового многообразия ${\displaystyle M}$, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из которых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, которые не лежат в ${\displaystyle F}$) напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, гиперболическое множество гладкой динамической системы ${\displaystyle \left\{S^{t}\right\}}$ – это такое компактное инвариантное подмножество ${\displaystyle F}$ фазового многообразия ${\displaystyle M}$, что в каждой точке ${\displaystyle x\in F}$ в касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}M}$ к ${\displaystyle M}$ имеются подпространства ${\displaystyle E_{x}^{s}}$ и ${\displaystyle E_{x}^{u}}$, для которых выполняются следующие 2 условия:

1. Действие дифференциалов ${\displaystyle {\tilde {S}}_{x}^{t}:T_{x}M\rightarrow T_{S}t_{x}M}$ отображений ${\displaystyle S^{t}:M\rightarrow M}$ в точке ${\displaystyle x}$ на векторы ${\displaystyle \xi \in E_{X}^{S}}$, ${\displaystyle \eta \in E_{x}^{u}}$ удовлетворяет неравенствам (см. в статье Дифференцирование отображений):

${\displaystyle }$
${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\tilde {S}}_{x}^{t}\xi \right|&\leqslant a\mid \xi \mid e^{-ct}{\text{ при }}t\geqslant 0,\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\tilde {S}}_{x}^{t}\xi \right|&\geqslant b\mid \xi \mid e^{-ct}{\text{ при }}t\leqslant 0,\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\tilde {S}}_{x}^{t}\eta \right|&\leqslant a\mid \eta \mid e^{ct}{\text{ при }}t\leqslant 0,\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\tilde {S}}_{x}^{t}\eta \right|&\geqslant b\mid \eta \mid e^{ct}{\text{ при }}t\geqslant 0\end{aligned}}}$
${\displaystyle }$

с некоторыми константами ${\displaystyle a,b,c>0}$, не зависящими от ${\displaystyle x}$.

2. Если ${\displaystyle \left\{S^{t}\right\}}$ – каскад (т. е. время ${\displaystyle t}$ принимает целочисленные значения), то

${\displaystyle T_{x}M=E_{x}^{s}\oplus E_{x}^{u}}$,

a если ${\displaystyle \left\{S^{t}\right\}}$ – поток, то

${\displaystyle T_{x}M=E_{x}^{s}\oplus E_{x}^{u}\oplus E_{x}^{n}}$,

где ${\displaystyle E_{x}^{n}}$ – одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на ${\displaystyle F}$ не обращается в нуль). Кроме того, для удобства некоторых формулировок бывает целесообразно причислить к гиперболическому множеству такие положения равновесия потоков, для которых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси.

Подпространство ${\displaystyle E_{x}^{s}}$ называется устойчивым, ${\displaystyle E_{x}^{u}}$ – неустойчивым, ${\displaystyle E_{x}^{n}}$ – нейтральным. Точки ${\displaystyle y\in M}$, для которых ${\displaystyle S^{t}y}$ неограниченно сближается c ${\displaystyle S^{t}x}$ при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, образуют некоторое гладкое многообразие ${\displaystyle W_{x}^{s}}$, касающееся ${\displaystyle E_{x}^{s}}$ в точке ${\displaystyle x}$; оно называется устойчивым многообразием точки ${\displaystyle x}$. Объединение ${\displaystyle W_{x}^{s}}$ для всех ${\displaystyle x}$, лежащих на одной траектории, называется устойчивым многообразием этой траектории. Аналогично вводятся неустойчивые многообразия точки и траектории.

Классический пример гиперболического множества потока – периодическая траектория, для которой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У некоторых систем всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (см. в статье У-система). Много примеров гиперболических множеств было обнаружено при изучении динамических систем классического происхождения (например, в небесной механике; Кушниренко. 1972). В общем виде гиперболические множества были введены C. Смейлом в 1965 г. (Смейл. 1970^[1]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамических систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (Нитецки. 1975^[2]).