Инвариантное множество

Инвариа́нтное мно́жество фазового пространства ${\displaystyle R}$ динамической системы ${\displaystyle f(p,t)}$ – множество ${\displaystyle M}$, заполненное целыми траекториями, т. е. множество, удовлетворяющее условию

${\displaystyle f(M,t)=M,\quad t\in \mathbb {R} }$,

где ${\displaystyle f(M,t)}$ – образ множества ${\displaystyle M}$ при преобразовании группы ${\displaystyle f(p,t)}$, соответствующем данному ${\displaystyle t}$.

Как множество метрического пространства ${\displaystyle R}$ инвариантное множество ${\displaystyle M}$ может иметь определённую топологическую структуру: быть, например, топологическим или гладким многообразием, поверхностью, замкнутой жордановой кривой, отдельной точкой. Об инвариантном множестве ${\displaystyle M}$ говорят тогда как об инвариантном многообразии, инвариантной поверхности, инвариантной кривой или инвариантной точке.

Инвариантную точку называют обычно точкой покоя динамической системы, поскольку для этой точки движение сводится к покою: ${\displaystyle f(p,t)=p}$ для всех значений ${\displaystyle t}$. Замкнутая инвариантная кривая, не содержащая точек покоя динамической системы, всегда образована траекторией периодического движения, т. е. движения, удовлетворяющего условию

${\displaystyle f(p,t+T)=f(p,t)}$

для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ и некоторого ${\displaystyle T>0}$, и называется в силу этого периодической траекторией. Примерами инвариантных многообразий могут служить сфера, тор, диск; инвариантных поверхностей – конус, лист Мёбиуса, сфера с ручками; инвариантных множеств – множество всех точек покоя, множества ${\displaystyle \Omega _{p}}$ и ${\displaystyle A_{p}}$ всех, соответственно, ${\displaystyle \omega }$- и ${\displaystyle \alpha }$-предельных точек движения ${\displaystyle f(p,t)}$, а также множество всех блуждающих ${\displaystyle W}$ или неблуждающих ${\displaystyle R\setminus W}$ точек.

Инвариантная точка динамической системы на плоскости

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$
${\displaystyle =f(x,y),\ \ {\frac {dy}{dt}}}$
${\displaystyle =g(x,y)}$ (1)

по характеру поведения траекторий в её окрестности принадлежит к одному из ${\displaystyle 4}$ типов: узел, фокус, седло, центр. Узел и фокус бывают асимптотически устойчивыми или неустойчивыми, седловина – неустойчива, центр – устойчив. Индекс Пуанкаре узла, центра и фокуса равен ${\displaystyle +1}$, седла ${\displaystyle -1}$.

В случае, когда матрица Якоби

${\displaystyle J(x,y)=\ \left({\begin{matrix}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}&{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\\{\frac {\partial g(x,y)}{\partial x}}&{\frac {\partial g(x,y)}{\partial y}}\\\end{matrix}}\right)}$

правой части системы ${\displaystyle (1)}$ в точке покоя ${\displaystyle x=x_{0}}$ , ${\displaystyle y=y_{0}}$ имеет собственные значения ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$ с ненулевой действительной частью, инвариантная точка является: узлом, если значения ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$ действительны и одного знака; седлом, если значения ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$ действительны и разных знаков; фокусом, если значения ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$ комплексно сопряжённые.

Во всех этих случаях тип особой точки системы ${\displaystyle (1)}$ такой же, как у линейной системы, получаемой из ${\displaystyle (1)}$ разложением её правой части в ряд Тейлора в точке ${\displaystyle x=x_{0}}$, ${\displaystyle y=y_{0}}$, т. е. как тип точки ${\displaystyle x_{1}=0}$, ${\displaystyle y_{1}=0}$ системы

${\displaystyle }$
${\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}}$
${\displaystyle =ax_{1}+by_{1},\ }$
${\displaystyle {\frac {dy_{1}}{dt}}}$
${\displaystyle =cx_{1}+dy_{1}}$ (2),

матрица ${\displaystyle (_{c}^{a}{}_{d}^{b})}$ которой равна ${\displaystyle J(x_{0},y_{0})}$. Между траекториями системы ${\displaystyle (1)}$ в окрестности особой точки рассматриваемых типов и траекториями системы ${\displaystyle (2)}$ существует более глубокая, чем отмечено выше, связь. Именно, всякий раз, когда в окрестности инвариантной точки ${\displaystyle x=x_{0}=0}$, ${\displaystyle y=y_{0}=0}$ функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ голоморфны и матрица ${\displaystyle J(x_{0},y_{0})}$ имеет ненулевые действительные части собственных значений, существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y=0}$ замена переменных

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}=x+F_{1}(x,y),\ \quad y_{1}=y+F_{2}(x,y),\\\\F_{i}(0,0)={\frac {\displaystyle \partial F_{i}(0,0)}{\displaystyle \partial x}}={\frac {\displaystyle \partial F_{i}(0,0)}{\displaystyle \partial y}}=0,\quad i=1,2,\end{matrix}}}$

приводящая систему уравнений ${\displaystyle (1)}$ к системе ${\displaystyle (2)}$.

Если значения ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$ мнимые, то инвариантная точка ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$ может быть либо фокусом, либо центром. Вопрос выяснения типа особой точки в этом случае представляет собой отдельную и трудную проблему – проблему центра и фокуса – и требует для отличения центра от фокуса привлечения более тонких критериев. Аналогичные трудности возникают при определении типа особой точки и в случае, когда матрица ${\displaystyle J(x_{0},y_{0})}$ вырождена.