Внешнее произведение

Вне́шнее произведе́ние, основная операция внешней алгебры тензоров, определённых в ${\displaystyle n}$-мерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$.

Пусть ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ – базис ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ – ${\displaystyle p}$- и ${\displaystyle q}$-формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a^{i_{1}\ldots i_{p}}e_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}},\\b&=b^{j_{1}\ldots i_{q}}e_{j_{1}}\otimes \ldots \otimes e_{j_{p}}.\end{aligned}}}$

Внешнее произведение форм ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ есть ${\displaystyle (p+q)}$-форма ${\displaystyle c}$, получающаяся альтернацией тензорного произведения ${\displaystyle a\otimes b}$. Форма ${\displaystyle c}$ обозначается ${\displaystyle a\wedge b}$; она имеет кососимметрические координаты

${\displaystyle c^{k_{1}\ldots k_{p+q}}={\frac {1}{p!q!}}\delta _{i_{1}\ldots i_{p}j_{1}\ldots j_{q}}^{k_{1}\ldots k_{p+q}}a^{i_{1}\ldots i_{p}}b^{j_{1}\ldots j_{q}}}$,

где ${\displaystyle \delta _{i_{1}\ldots j_{q}}^{k_{1}\ldots k_{p+q}}}$ – компоненты обобщённого символа Кронекера. Аналогично определяется внешнее произведение ковариантных тензоров.

Основные свойства внешнего произведения:

1. ${\displaystyle (ka)\wedge b=a\wedge (kb)=k(a\wedge b)}$, ${\displaystyle k\in K}$, – однородность;
2. ${\displaystyle (a+b)\wedge c=a\wedge c+b\wedge c}$ – дистрибутивность;
3. ${\displaystyle (a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)}$ – ассоциативность;
4. ${\displaystyle a\wedge b=(-1)^{pq}b\wedge a}$; если характеристика поля ${\displaystyle K}$ отлична от двух, то для формы ${\displaystyle a}$ нечётной валентности ${\displaystyle a\wedge a=0}$.

Внешнее произведение ${\displaystyle s}$ векторов называется разложимым ${\displaystyle s}$-вектором. Каждый поливектор размерности ${\displaystyle s}$ есть линейная комбинация разложимых ${\displaystyle s}$-векторов. Компоненты разложения являются ${\displaystyle s\times s}$-минорами ${\displaystyle n\times s}$-матрицы ${\displaystyle \left(a_{j}^{i}\right)}$, ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$, ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant s}$, коэффициентов векторов ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s}}$. При ${\displaystyle s=n}$ их внешнее произведение имеет вид:

${\displaystyle \alpha _{n}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots \wedge a_{n}=\operatorname {det} \left(a_{j}^{i}\right)e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}}$.

Над полями характеристики, отличной от двух, равенство ${\displaystyle a_{1}\wedge \ldots \wedge a_{s}=0}$ необходимо и достаточно для линейной зависимости векторов ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s}}$. Ненулевой разложимый ${\displaystyle s}$-вектор ${\displaystyle \alpha _{s}}$ определяет в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s}$-мерное ориентированное подпространство ${\displaystyle A}$, параллельное векторам ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s}}$, и параллелотоп, лежащий в ${\displaystyle A}$ и образованный векторами ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s}}$, выходящими из одной точки (этот параллелотоп обозначается через ${\displaystyle \left[a_{1},\ldots ,a_{s}\right]}$). Условия ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle \alpha _{s}\wedge a=0}$ эквивалентны.