Блуждание Бернулли

Блужда́ние Берну́лли, случайное блуждание, порождаемое испытаниями Бернулли. На примере блуждания Бернулли можно пояснить некоторые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства «случайности», парадоксальные с точки зрения интуиции.

Блуждание Бернулли можно описать, например, в следующих терминах. Частица движется по оси ${\displaystyle x}$ («блуждает») по решётке точек вида ${\displaystyle kh}$ (${\displaystyle k}$ – целое, ${\displaystyle h>0}$). Движение начинается в момент ${\displaystyle t=0}$, и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \Delta t}$, ${\displaystyle 2\Delta t}$, ${\displaystyle {\text{З}}\Delta t}$, ${\displaystyle \dots }$. На каждом шаге координата частицы увеличивается или уменьшается на величину ${\displaystyle h}$ с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q=1-p}$ соответственно, независимо от предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях («успехи» и «неудачи») описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной ${\displaystyle p}$. Обычно блуждание Бернулли изображают геометрически, беря ось ${\displaystyle t}$ за ось абсцисс, а ось ${\displaystyle x}$ – за ось ординат (см. рис. 1, где показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля).

Пусть ${\displaystyle X_{j}}$ – случайная величина, равная перемещению частицы на ${\displaystyle j}$-м шаге. Тогда ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$, ${\displaystyle \dots }$, ${\displaystyle X_{n}}$, ${\displaystyle \dots }$ образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент ${\displaystyle n\Delta t}$ равна сумме ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dots +X_{n}}$. Поэтому график блуждания Бернулли даёт также наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причём многие характерные черты флуктуаций сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Этот график показывает также изменения капитала одного из игроков в классической задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в блуждании Бернулли).

В физике блуждание Бернулли используют для грубого описания одномерных процессов диффузии и броуновского движения материальных частиц под действием ударов молекул. Из важнейших фактов, связанных с блужданием Бернулли, можно отметить следующие (при этом ниже, если не оговорено противное, принято допущение ${\displaystyle \Delta t=1}$, ${\displaystyle h=1}$).

Вероятности возвращения. Пусть блуждание начинается из нуля. Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна ${\displaystyle 1-\mid p-q\mid }$, т. е. равна единице в симметричном случае ${\displaystyle p=q=1/2}$ и меньше единицы при ${\displaystyle p\neq q}$. В симметричном случае величины ${\displaystyle \tau _{1}}$ (время до первого возвращения в нуль) и ${\displaystyle \tau _{2}}$ (время между первым и вторым возвращениями) и т. д. суть независимые случайные величины с бесконечным математическим ожиданием. Время до ${\displaystyle N}$-го возвращения, т. е. сумма ${\displaystyle \tau _{1}+\dots +\tau _{N}}$ растёт как ${\displaystyle N^{2}}$, а среднее число ${\displaystyle N_{2n}}$ возвращений за ${\displaystyle 2n}$ шагов задаётся формулой

${\displaystyle {\mathsf {E}}(N_{2n})={\frac {2n+1}{2^{2n}}}C_{2n}^{n}-1}$

и растёт как ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$:

${\displaystyle {\mathsf {E}}(N_{2n})\sim 2{\frac {\sqrt {n}}{\sqrt {\pi }}}}$.

Отсюда вытекает парадоксальное следствие: в симметричном блуждании Бернулли «волны» на графике между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными (рис. 2). С этим связано и другое обстоятельство, а именно, что для ${\displaystyle T_{n}/n}$ (доли времени, когда график находится выше оси абсцисс) наименее вероятными оказываются значения, близкие к ${\displaystyle 1/2}$. Точнее, справедливо следующее утверждение: при ${\displaystyle k\to \infty }$, ${\displaystyle n-k\to \infty }$ для вероятности ${\displaystyle p_{2n,2k}}$ равенства ${\displaystyle T_{2n}=2k}$ имеет место формула:

${\displaystyle p_{2n,2k}\sim {\frac {1}{\pi n{\sqrt {x(1-x)}}}}}$,

где ${\displaystyle x=x_{n,k}=k/n}$. Следствием является т. н. закон арксинуса: при каждом ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ вероятность неравенства ${\displaystyle T_{n}/n<\alpha }$ стремится к

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dx}{\sqrt {x(1-x)}}}={\frac {2}{\pi }}\operatorname {arcsin} {\sqrt {a}}}$.

Опираясь на этот факт, можно показать, что при 10 000 шагов частица остаётся на положительной стороне более чем 9 930 моментов времени с вероятностью ${\displaystyle \geqslant 0{,}1}$, т. е., грубо говоря, подобное положение будет наблюдаться не реже, чем в одном случае из десяти (хотя на первый взгляд оно кажется абсурдным).

Максимальное отклонение. При ${\displaystyle p>q}$ или ${\displaystyle p<q}$ блуждающая частица уходит с вероятностью единица в ${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$. Поэтому, например, при ${\displaystyle p<q}$ определена случайная величина

${\displaystyle M^{+}={\underset {0\leqslant j<\infty }{\operatorname {max} }}S_{j}}$,

и вероятность того, что ${\displaystyle M^{+}=x}$, равна

${\displaystyle {\Big (}1-{\frac {p}{q}}{\Big )}{\Big (}{\frac {p}{q}}{\Big )}^{x}}$.

Блуждание Бернулли с границами. Часто рассматривают блуждание Бернулли при наличии поглощающих или отражающих экранов. Пусть, например, блуждание начинается из нуля. Наличие в точке ${\displaystyle a}$ поглощающего экрана проявляется в том, что по достижении этой точки частица перестаёт двигаться. При наличии в точке ${\displaystyle a=(k+1/2)}$ (${\displaystyle k\geqslant 0}$ целое) отражающего экрана частица с вероятностью ${\displaystyle q}$ переходит из ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle (k-1)}$ и с вероятностью ${\displaystyle p}$ остаётся на месте. Основным средством вычисления вероятностей поглощения и вероятностей достижения тех или иных точек служат разностные уравнения. Пусть, например, поглощающий экран стоит в точке ${\displaystyle -a}$ (${\displaystyle a>0}$). Если ${\displaystyle z_{t,x}}$ есть вероятность того, что частица, находящаяся в точке ${\displaystyle x}$ в момент времени ${\displaystyle t}$, поглотится до момента ${\displaystyle n}$ (включительно), то имеет место уравнение:

${\displaystyle z_{t,x}=qz_{t+1,x-1}+pz_{t+1,x+1},\quad x>-a}$,

со следующими очевидными граничными условиями:

${\displaystyle z_{t,-a}=1,\quad 0\leqslant t\leqslant n}$,

${\displaystyle z_{n,x}=0,\quad x>-a}$.

Решение этой задачи при ${\displaystyle p=q=1/2}$ было известно А. Муавру и П. Лапласу. Формула Лапласа имеет вид:

${\displaystyle z_{t,x}=1-{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin {(a+x)}\varphi }{\sin {\varphi }}}(\cos {\varphi })^{\gamma }\,d\varphi ,}$

где

${\displaystyle \gamma =a+x+2{\Big [}{\frac {n-t-x-a}{2}}{\Big ]}+1}$.

Переход к процессам диффузии. Пусть, например, ${\displaystyle p=q=1/2}$, ${\displaystyle \Delta t=1/N}$, ${\displaystyle h=1/{\sqrt {N}}}$. Тогда при ${\displaystyle N\to \infty }$ многие вероятности, вычисленные для схемы блуждания Бернулли, стремятся к пределам, равным аналогичным вероятностям для броуновского движения. Пусть речь идёт о вероятности того, что частица, вышедшая из нуля, поглотится экраном, стоящим в точке ${\displaystyle \alpha }$, до момента ${\displaystyle T}$. Предельным переходом из формулы ${\displaystyle (\ast )}$ при ${\displaystyle n/N=T}$, ${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle a/{\sqrt {N}}=\alpha }$ получается величина

${\displaystyle 1-{\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\alpha /{\sqrt {T}}}e^{-z^{2}/2}dz={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\alpha /{\sqrt {T}}}^{\infty }e^{-z^{2}/2}dz}$,

равная вероятности того, что координата ${\displaystyle X(v)}$ частицы, совершающей броуновское движение, удовлетворяет неравенству:

${\displaystyle {\underset {0\leqslant v\leqslant T}{\operatorname {min} }}X(v)\leqslant -\alpha }$,

т. е. вероятности того, что частица поглотится на барьере – ${\displaystyle \alpha }$. Для более или менее полного описания всех подобных предельных соотношений уместно встать на общую точку зрения и рассмотреть переход от дискретного процесса «нарастающих сумм» к непрерывному случайному процессу (см. Предельные теоремы).

На схеме блуждания Бернулли можно весьма наглядно пояснить такие закономерности поведения сумм случайных величин, как усиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма.