Банахова группа Ли

Ба́нахова гру́ппа Ли, множество ${\displaystyle G}$, снабжённое одновременно структурой группы и структурой аналитического банахова многообразия; эти две структуры согласованы в следующем смысле: отображение ${\displaystyle (g,h)\to gh^{-1}}$ из ${\displaystyle G\times G}$ в ${\displaystyle G}$ является аналитическим. В случае, если банахово многообразие конечномерно, это понятие совпадает с обычным понятием группы Ли.

Примеры. Банахово пространство с операцией сложения, множество ${\displaystyle A^{*}}$ обратимых элементов в банаховой алгебре ${\displaystyle A}$ с операцией умножения, множество ${\displaystyle C^{k}(M,G)}$ ${\displaystyle k}$-гладких функций на гладком многообразии со значениями в группе Ли ${\displaystyle G}$ с операцией поточечного умножения являются банаховыми группами Ли. С другой стороны, множество ${\displaystyle {\rm {Diff}}^{k}M}$ ${\displaystyle k}$-гладких взаимно однозначных отображений гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ на себя не является банаховой группой Ли: естественные структуры банахова многообразия и группы (относительно операции композиции) в этом случае не согласованы.

Для банаховых групп Ли остаются справедливыми некоторые основные теоремы теории групп Ли: каждой банаховой группе Ли соответствует банахова алгебра Ли, по которой, в свою очередь, восстанавливается локальная банахова группа Ли. Известно, однако, что не всякая локальная банахова группа Ли продолжается до глобальной (La Harpe. 1972^[1]); окрестность единицы в банаховой группе Ли покрывается образом экспоненциального отображения; имеется соответствие между связными замкнутыми подгруппами банаховых групп Ли и замкнутыми подалгебрами соответствующей алгебры Ли.

Имеются различные обобщения понятия банаховых групп Ли (Omori. 1974^[2]), в которых структура банахова пространства заменяется структурой линейного топологического пространства более общего типа.