Экспоненциальное отображение

Экспоненциа́льное отображе́ние, отображение касательного пространства многообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle M}$, определяемое заданной на ${\displaystyle M}$ связностью и являющееся далеко идущим обобщением обычной экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение прямой в себя.

1. Пусть ${\displaystyle M}$ – многообразие класса ${\displaystyle C^{\infty }}$ с аффинной связностью, ${\displaystyle p}$ – некоторая точка из ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M_{p}}$ – касательное пространство к многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle X}$ – ненулевой вектор из ${\displaystyle M_{p}}$, ${\displaystyle t\to \gamma _{X}(t)}$ – геодезическая, проходящая через точку ${\displaystyle p}$ в направлении вектора ${\displaystyle X}$. Существует такая открытая окрестность ${\displaystyle N_{0}}$ точки 0 в ${\displaystyle M_{p}}$ и такая открытая окрестность ${\displaystyle N_{p}}$ точки ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle M}$, что отображение ${\displaystyle X\to \gamma _{X}(1)}$ является диффеоморфизмом ${\displaystyle N_{0}}$ на ${\displaystyle N_{p}}$. Это отображение называется экспоненциальным отображением в точке ${\displaystyle p}$ и обозначается ${\displaystyle {\rm {Exp}}}$. Окрестность ${\displaystyle N_{0}}$ называется нормальной, если:

1) отображение ${\displaystyle {\rm {Exp}}}$ диффеоморфно отображает ${\displaystyle N_{0}}$ на ${\displaystyle N_{p}}$;

2) если ${\displaystyle X\in N_{0}}$ и ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, то ${\displaystyle tX\in N_{0}}$.

В этом случае ${\displaystyle N_{p}}$ – нормальная окрестность точки ${\displaystyle p}$ в многообразии ${\displaystyle M}$. Каждая точка ${\displaystyle p\in M}$ обладает выпуклой нормальной окрестностью ${\displaystyle N_{p}}$ точки ${\displaystyle p:}$ любые две точки такой окрестности можно соединить в точности одним геодезическим отрезком, содержащимся в ${\displaystyle N_{p}}$. Если ${\displaystyle M}$ – полное риманово многообразие, то ${\displaystyle {\rm {Exp}}}$ есть сюръективное отображение ${\displaystyle M_{p}}$ на ${\displaystyle M}$.

2. Пусть ${\displaystyle G}$ – группа Ли с единицей ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle g}$ – соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векторов к ${\displaystyle G}$ в точке ${\displaystyle e}$. Для каждого вектора ${\displaystyle X\in g}$ существует единственный аналитический гомоморфизм ${\displaystyle \theta }$ группы ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle G}$ такой, что касательный вектор к ${\displaystyle \theta (\mathbb {R} )}$ в точке ${\displaystyle e}$ совпадает с ${\displaystyle X}$. Отображение ${\displaystyle X\to \operatorname {exp} X=\theta (1)}$ и называется экспоненциальным отображением алгебры ${\displaystyle g}$ в группу ${\displaystyle G}$. Существует такая открытая окрестность ${\displaystyle N_{0}}$ точки ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle g}$ и такая открытая окрестность ${\displaystyle N_{e}}$ точки ${\displaystyle e}$ в ${\displaystyle G}$, что ${\displaystyle \operatorname {exp} }$ является аналитическим диффеоморфизмом окрестности ${\displaystyle N_{0}}$ на ${\displaystyle N_{e}}$. Пусть ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ – некоторый базис алгебры ${\displaystyle g}$. Отображение ${\displaystyle \operatorname {exp} (x_{1}X_{1}+\dots +x_{n}X_{n})\to (x_{1},\dots ,x_{n})}$ есть система координат на ${\displaystyle N_{e}}$, эти координаты называются каноническими.

К понятию экспоненциального отображения для группы Ли ${\displaystyle G}$ можно подойти и с другой точки зрения. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех аффинных связностей на ${\displaystyle G}$, инвариантных относительно группы левых сдвигов, и множеством билинейных функций ${\displaystyle \alpha \colon g\times g\to g}$. Оказывается, что экспоненциальные отображения ${\displaystyle {\rm {exp}}}$ алгебры ${\displaystyle g}$ в группу ${\displaystyle G}$ совпадают с отображением ${\displaystyle {\rm {Exp}}}$ касательного пространства ${\displaystyle g}$ к многообразию ${\displaystyle G}$ в точке ${\displaystyle e}$ в это многообразие относительно левоинвариантной аффинной связности, отвечающей любой кососимметричной билинейной функции ${\displaystyle \alpha }$.