Вы́рожденное эллипти́ческое уравне́ние, дифференциальное уравнение с частными производными
$$\tag{1} F(x, D u)=0,$$где действительная функция $F(x, q)$ удовлетворяет условиям
$$\tag{2} \sum_{|\alpha|=m} \frac{\partial F(x, D u)}{\partial q_\alpha} \xi ^\alpha \geqslant 0$$для всех действительных $\xi$ и существует $\xi \neq 0$, при котором в соотношении $(2)$ достигается равенство. Здесь $x$ есть $n$-мерный вектор $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$; $u(x)$ – искомая функция, $\alpha$ – мультииндекс $\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)$; $D u$ – вектор с компонентами

$$D^{\alpha}u=\frac{\partial^{|\alpha|} u}{\partial x_1^{\alpha_1} \ldots \partial x_n^{\alpha_n}},$$причём в уравнение $(1)$ входят производные порядка не выше $m$; $q_{\alpha}$ – компоненты вектора $q$; $\xi$ есть $n$-мерный вектор $\left(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right)$ и $\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1}, \xi_2^{\alpha_2} \ldots \xi_n^{\alpha_n}$. Если в соотношении $(2)$ для каких-либо $x$ и $D u$ и для всех действительных $\xi \neq 0$ выполняется строгое неравенство, то уравнение $(1)$ в точке $(x, D u)$ является эллиптическим. Уравнение $(1)$ вырождается в тех точках $(x, D u)$, где соотношение $(2)$ обращается в равенство для какого-либо действительного $\xi \neq 0$. Если равенство достигается лишь на границе рассматриваемой области, то уравнение называется вырождающимся на границе области. Наиболее исследованы линейные вырожденные эллиптические уравнения 2-го порядка

$$\sum a^{i k}(x) u_{x_i x_k}+\sum b^i(x) u_{x_i}+c(x) u=f(x),$$где матрица $\|\left(a^{i k}(x) \|\right.$ неотрицательно определённая для всех рассматриваемых значений $x$.

См. также статью Вырожденное уравнение с частными производными.