Устойчивость по Пуассону
Усто́йчивость по Пуассо́ну, свойство точки (траектории ) динамической системы [или ], заданной на топологическом пространстве , состоящее в следующем: найдутся последовательности , такие, что
Иными словами, является - и -предельной точкой траектории . Понятие устойчивости по Пуассону введено А. Пуанкаре (Пуанкаре. 1972) на основе анализа результатов C. Пуассона по устойчивости планетных орбит.
Всякая точка, устойчивая по Пуассону, – неблуждающая; обратное неверно (см. в статье Блуждающая точка). Всякая неподвижная и всякая периодическая точка, вообще всякая рекуррентная точка, устойчивы по Пуассону. Если и динамическая система гладкая (т. е. задана векторным полем класса ), то всякая точка, устойчивая по Пуассону, является либо неподвижной, либо периодической.
Теорема Пуанкаре о возвращении: если динамическая система задана на ограниченной области пространства и лебегова мера является инвариантной мерой системы, то устойчивы по Пуассону все точки, кроме точек некоторого множества первой категории меры нуль (см. Пуанкаре. 1972; Окстоби. 1974). Обобщением этой теоремы на динамические системы, заданные на пространстве бесконечной меры, является теорема Хопфа о возвращении (см. Немыцкий. 2017): если динамическая система задана на произвольной области пространства (например, на всём ) и лебегова мера является инвариантной мерой системы, то каждая точка , кроме точек некоторого множества меры нуль, или устойчива по Пуассону, или является уходящей, т. е.
Имеются и более общие формулировки теорем Пуанкаре и Хопфа (см. Немыцкий. 2017).