Уравне́ния Пуанкаре́, общие уравнения механики голономных систем, представимые с помощью некоторой группы Ли бесконечно малых преобразований.

Пусть $x_{i}, i=1, \ldots, n$, – переменные, определяющие положение голономной механической системы, стеснённой идеальными связями, зависящими явно от времени. Если система имеет $k$ степеней свободы, то существует интранзитивная группа бесконечно малых преобразований$$X_{0}=\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \xi_{0}^{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}},\quad X_{\alpha}=\sum_{j=1}^{n} \xi^{j} \alpha \frac{\partial}{\partial x_{j}}, \quad \alpha=1, \ldots, k,$$позволяющая перевести систему в момент времени $t$ из положения $x_i$ в бесконечно близкие действительное положение $x_{i}+d x_{i}$ и возможное положение $x_{i}+\delta x_{i}$ бесконечно малыми преобразованиями группы $\left(X_{0}+\sum_{\alpha=1}^{k} \eta_{\alpha} X_{\alpha}\right) d t$ и подгруппы $\sum_{\alpha=1}^{k} \omega_{\alpha} X_{\alpha}$ соответственно. Здесь $\omega_{\alpha}$ и $\eta_{\alpha}$ – независимые переменные, определяющие соответственно возможные и действительные перемещения системы, – связаны уравнениями$$\delta \eta_i=\frac{d \omega_i}{d t}-\sum_{\alpha, \beta=1}^k c_{\alpha \beta i} \omega_\alpha \eta_\beta, \quad i=1, \ldots, k,$$если группа возможных перемещений $X_\alpha$ определена своими структурными постоянными $c_{\alpha \beta i}$:
$$\begin{gathered} \left(X_\alpha X_\beta\right)=X_\alpha X_\beta-X_\beta X_\alpha=\sum\limits_{i=1}^k c_{\alpha \beta i} X_i, \quad \alpha, \beta=1, \ldots, k, \end{gathered}$$а оператор $X_0$ перестановочен с группой возможных перемещений$$\left(X_0 X_\alpha\right)=0,\quad \alpha=1, \ldots, k .$$Эти условия далее предполагаются выполненными.

Уравнения Пуанкаре имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений $2$-го порядка$$\tag{1} \begin{gathered} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \eta_j}=\sum_{\alpha, \beta=1}^k c_{\alpha j \beta} \eta_\alpha \frac{\partial L}{\partial \eta_\beta}+X_j L, \quad j-1, \ldots, k, \end{gathered}$$где$$L\left(t, x_1, \ldots, x_n, \eta_1, \ldots, \eta_k\right)=T+U$$– функция Лагранжа, $T(t, x, \eta)$ – кинетическая энергия, $U(t, x)$ – силовая функция.

Уравнения $(1)$ были получены впервые А. Пуанкаре (Poincaré. 1901) для случая транзитивной группы возможных перемещений, когда связи не зависят явно от времени, и применены (Poincaré. 1910) для исследования движения твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Н. Г. Четаев (Четаев. 1928) обобщил уравнения Пуанкаре на случай интранзитивной группы перемещений, когда связи зависят явно от времени, и разработал их теорию (Четаев. 1928; Chetaev. 1927; Четаев. 1941), а также преобразовал к более простому каноническому виду (см. в статье Уравнения Четаева). В частности, им был дан (Четаев. 1941) метод построения группы возможных и действительных перемещений, когда голономные связи заданы в дифференциальной форме, и введено важное понятие циклического перемещения.

Перемещения $X_r$, $r=s+1, \ldots, k$, называются циклическими, если они удовлетворяют условиям:

1) $X_r L=0$,

2) $\left(X_r X_\beta\right)=0,\quad r=s+1,\ldots, k, \quad \beta=1, \ldots, k$.

Согласно 2) циклические перемещения $X_r$ образуют абелеву подгруппу группы возможных перемещений, перестановочную со всеми операторами $X_\beta$. Для циклических перемещений существуют первые интегралы уравнений Пуанкаре$$\frac{\partial L}{\partial \eta_r}=a_r=\text { const, } \quad r=s+1, \ldots, k .$$Из этих соотношений переменные $\eta_r$ можно выразить через постоянные $a_r$ и переменные $t$, $x_i$, $\eta_1, \ldots, \eta_s$ и ввести функцию Рауса$$\begin{gathered} R\left(t, x_1, \ldots, x_n ; \eta_1, \ldots, \eta_s ; a_{s+1}, \ldots, a_k\right)= L-\sum_{r=s+1}^k \frac{\partial L}{\partial \eta_r} \eta_r . \end{gathered}$$Тогда для нециклических перемещений уравнения Пуанкаре принимают вид уравнений$$\tag{2} \begin{gathered} \frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \eta_j}=\sum c_{\alpha j \beta} \eta_\alpha \frac{\partial R}{\partial \eta_\beta}+\sum c_{\alpha j \gamma} \eta_\alpha \alpha_\gamma+X_j R, \\ \alpha, j, \beta=1, \ldots, s ;\quad \gamma=s+1, \ldots, k . \end{gathered}$$После интегрирования уравнений $(2)$ значения $\eta_r$ определяются равенствами$$\eta_r=-\frac{\partial R}{\partial a_r},\quad r=s+1, \ldots, k .$$Если дополнительно выполняются равенства $c_{\alpha j \gamma}=0$, $\alpha, j=1, \ldots, s$; $\gamma=s+1, \ldots, k$, т. е. если нециклические перемещения $X_{\beta}$, $\beta=1, \ldots, k$, представляют собой подгруппу группы возможных перемещений, то по отношению к этой подгруппе рассматриваемая механическая система образует как бы самостоятельную голономную систему с $s$ степенями свободы, описываемую уравнениями $(1)$ при $\alpha, j, \beta=1, \ldots, s$, где роль функции $L$ играет функция $R$.

Уравнения Пуанкаре содержат как частные случаи: уравнения Лагранжа, когда группа преобразований, увеличивающая одну из переменных на бесконечно малую постоянную, приводится к группе перестановочных между собой преобразований; уравнения Эйлера вращения твёрдого тела, когда роль $\eta_{i}$ играют проекции $p$, $q$, $r$ мгновенной угловой скорости.