Интегра́льное уравне́ние А́беля, интегральное уравнение $$\int_{0}^{x}\frac{\varphi(s)}{\sqrt{x-s}}\,ds=f(x), \tag{1}$$к которому сводится решение задачи Абеля. Интегральным уравнением Абеля называется также более общее уравнение (обобщённое интегральное уравнение Абеля)
$$\int_{a}^{x} \frac{\varphi(s)}{(x-s)^{\alpha}}\,ds=f(x), \quad a \leqslant x \leqslant b,\tag{2}$$где $a>0$ и $0<\alpha<1$ – заданные постоянные, $f(x)$ – известная функция, а $\varphi(x)$ – искомая функция. Выражение $(x-s)^{-\alpha}$ называется ядром интегрального уравнения Абеля, или ядром Абеля. Интегральные уравнения Абеля принадлежат к классу уравнений Вольтерры 1-го рода. Уравнение

$$\int_{a}^{b} \frac{\varphi(s)}{|x-s|^{\alpha}}\, ds=f(x), \quad a \leqslant x \leqslant b,\tag{3}$$называется интегральным уравнением Абеля с постоянными пределами.

Если $f(x)$ – непрерывно дифференцируемая функция, то интегральное уравнение Абеля (2) имеет единственное непрерывное решение, представимое формулой

$$\varphi(x)=\frac{\sin \alpha \pi}{\pi} \frac{d}{d x}\int_{a}^{x} \frac{f(t)\,dt}{(x-t)^{1-\alpha}(x)},\tag{4}$$или, что то же самое, формулой

$$\varphi(x)=\frac{\sin \alpha \pi}{\pi} \left[\frac{f(a)}{(x-a)^{1-\alpha}}+\int_{a}^{x} \frac{f'(t)\,dt}{(x-t)^{1-\alpha}}\right].\tag{5}$$Формула (5) является решением интегрального уравнения Абеля (2) при более широких предположениях (Tonelli. 1928). Так, в статье Тонелли Л. (1928) показано, что если $f(x)$ абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$, то интегральное уравнение Абеля (2) имеет в классе интегрируемых по Лебегу функций единственное решение, определяемое формулой (5). Решение интегрального уравнения Абеля (3) дано в статье Карлемана Т. (Carleman. 1922).