Уравне́ние Чебышёва, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение $2$-го порядка

$$\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+a y=0$$или, в самосопряжённой форме,

$$\sqrt{1-x^2} \frac{d}{d x}\left(\sqrt{1-x^2} \frac{d y}{d x}\right)+a y=0,$$здесь $a$ – константа. Уравнение Чебышёва представляет собой частный случай гипергеометрического уравнения.

Точки $x=-1$ и $x=1$ являются регулярными особыми точками уравнения Чебышёва. Замены независимой переменной

$$\begin{aligned} & t=\arccos x \text { при }|x|<1, \\ & t=\operatorname{Arch}|x| \text { при }|x|>1 \end{aligned}$$приводят это уравнение соответственно к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами

$$\frac{d^2 y}{d t^2}+a y=0 \text { или } \frac{d^2 y}{d t^2}-a y=0,$$так что уравнение Чебышёва интегрируется в замкнутой форме. Фундаментальная система решений уравнения Чебышёва на интервале $-1<x<1$ при $a=n^2$, где $n$ – натуральное число, состоит из многочлена Чебышёва ($1$-го рода) степени $n$

$$T_n(x)=\cos (n \arccos x)$$и функции $U_n(x)=\sin (n \arccos x)$, связанной с многочленами Чебышёва $2$-го рода. Многочлен $T_n(x)$ служит действительным решением уравнения Чебышёва с $a=n^2$ и на всей действительной оси. Уравнение Чебышёва изучалось также в комплексной области.