Упоря́доченное представле́ние (в некоммутативном анализе), набор операторов со специальными свойствами на пространстве $n$-местных символов. Пусть $\mathscr{F}$ – заданное пространство символов, $A=(\smash{\overset{\smash1}{A}_{1},\ldots,\overset{\smash n}A_{n}})$ – фейнмановский набор $\mathscr{F}$-производящих элементов операторной алгебры $\mathscr{A}$. Предположим, что существуют операторы $l_{1},\ldots,l_{n}$ на пространстве $n$-местных символов $\mathscr{F}_{n}$ такие, что (i) для любых $i=1,\ldots,n$ и $f\in\mathscr{F}_{n}$ выполнено равенство$$A_{i}[\![f({\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}})]\!]=(l_{i}f)({\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}})$$(здесь $[\![\cdot,\cdot]\!]$ – автономные скобки), или, коротко, $A_{i}[\![f(A)]\!]=(l_{i}f)(A)$; (ii) если функция $f\in\mathscr{F}_{n}$ не зависит от переменных $y_{i+1},\dots,y_{n}$, то $(l_{i}f)(y)=y_{i}f(y)$. Тогда эти операторы называются операторами левого упорядоченного представления набора $A$, а фейнмановский набор $l=(\smash{\overset{1}{l}_{1},\ldots,\overset{n}l_{n}})$ – левым упорядоченным представлением набора $A$.

Важнейшим свойством левого упорядоченного представления является формула композиции $$[\![ f({\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}}) ]\!] [\![ g({\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}}) ]\!]=[f(l) g]({\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}}),\tag1$$или, коротко, $[\![ f(A) ]\!] [\![ g(A) ]\!]=[f(l) g](A)$, справедливая для любого многочлена $f(y_1,\dots,y_n)$ и любого символа $g\in\mathscr{F}_{n}$ и выражающая произведение операторов $f(\smash{\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}})$ и $g(\smash{\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n}})$ через произведение их символов. В предположении, что $l_{1},\ldots,l_{n}$ являются $\mathscr{F}$-производящими операторами в пространстве $\mathscr{F}_{n}$, формула (1) оказывается верной для любых $f,g\in\mathscr{F}_n$, т. е. в этом случае закон композиции справедлив для операторов с символами общего вида.

В качестве примера рассмотрим фейнмановский набор $(\smash{\overset{1}A_1,\overset{2}A_2})$, где операторы $$A_1=-ih\frac d{dx},\qquad A_2=x$$– операторы импульса и координаты в квантовой механике – рассматриваются как элементы алгебры $\mathscr A=\operatorname{End}(\{H^s(\mathbb{R})\})$ операторов конечного порядка в шкале пространств Соболева $H^s(\mathbb{R})$. В этом случае операторы левого упорядоченного представления имеют вид $$l_1=y_1-ih\frac{\partial}{\partial y_2},\qquad l_2=y_2,$$а закон композиции приобретает вид$$\left[\!\!\left[ f\left(-ih\overset{\smash1}{\frac d{dx}},\overset{2}x\right)\right]\!\!\right] \left[\!\!\left[ g\left(-ih\overset{\smash1}{\frac d{dx}},\overset{2}x\right)\right]\!\!\right] =H\left(-ih\overset{\smash1}{\frac d{dx}},\overset{2}x\right) \vphantom{\overset{1}{\frac d{dx}}},$$где $$\vphantom{\overset{1}{\frac d{dx}}} H(x,p)=f\left(\overset{\smash1}{\overline{y_1-ih\frac{\partial}{\partial y_2}}},\overset{2}{y_2}\right) g\left(y_1,y_2\right)\sim \sum_{j=0}^\infty\frac{(-ih)^j}{j!}\frac{\partial^jf(y_1,y_2)}{\partial y_1^j}\frac{\partial^jg(y_1,y_2)}{\partial y_2^j}$$(правая часть последней формулы даёт разложение символа произведения квантовых наблюдаемых, или $h$-псевдодифференциальных операторов, по степеням малого параметра $h$).

Операторы $r_1,\dots,r_n$ правого упорядоченного представления определяются аналогично, а именно условия (i) и (ii) заменяются на следующие: (i') для любых $i=1,\ldots,n$ и $f\in\mathscr{F}_{n}$ выполнено равенство$$[\![f(\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n})]\!]A_{i} =\left(r_{i}f\right)(\overset{1}{A}_{1},\ldots,\overset{n}A_{n});$$(ii') $\left(r_{i}f\right)(y)=y_{i}f(y)$ , если $f$ не зависит от $y_{1},\ldots,y_{i-1}$. Если операторы правого упорядоченного представления существуют, то справедлива формула композиции $$[\![ f(\stackrel{1}{A}_{1},\ldots,\stackrel{n}A_{n}) ]\!] [\![ g(\stackrel{1}{A}_{1},\ldots,\stackrel{n}A_{n}) ]\!]=[g(r) f](\stackrel{1}{A}_{1},\ldots,\stackrel{n}A_{n}),\tag2$$где фейнмановский набор $r$ имеет вид $r=(\smash{\overset{n}{r}_{1},\ldots,\overset{1}r_{n}})$, $f\in\mathscr{F}_n$, а $g(y_1,\dots,y_n)$ – многочлен или, в случае $\mathscr{F}$-производящих операторов $r_i$, произвольный элемент из $\mathscr{F}_n$. Обратный порядок фейнмановских номеров в левом упорядоченном представлении набора $A$ имеет очевидное объяснение: левое упорядоченное представление превращается в правое при переходе от алгебры $\mathscr{A}$ к двойственной алгебре $\mathscr{A}^*$ с теми же сложением и произведением на скаляры и с умножением $a*b=ba$.

Упорядоченное представление. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.Упорядоченное представление. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ