Тео́рия моти́вов, обобщение различных теорий когомологий алгебраических многообразий. Теория мотивов систематически обобщает идею использования якобиана алгебраической кривой $X$ в качестве замены когомологий $H^1(X, \mathbb{Q})$ в классической теории соответствий и использовании этой теории для изучения дзета–функции кривой $X$ над конечным полем. Теория мотивов универсальна в том смысле, что всякая геометрическая теория когомологий типа классических сингулярных когомологий алгебраических многообразий над полем $\mathbb{C}$ с постоянными коэффициентами, $l$–адических когомологий для различных простых чисел $l$, отличных от характеристики основного поля, кристаллических когомологий и т. п. (см. в статье Когомологии Вейля) является функтором на категории мотивов.

Пусть $V(k)$ – категория гладких проективных многообразий над полем $k$ и $X\to C(X)$ – контравариантный функтор глобальной теории пересечений из $V(k)$ в категорию коммутативных $\Lambda$–алгебр, где $\Lambda$ – некоторое фиксированное кольцо. Например, $C(X)$ – кольцо Чжоу классов алгебраических циклов на $X$ по модулю подходящего (рационального, алгебраического, численного и т. п.) отношения эквивалентности, или $C(X)=K(X)$ – кольцо Гротендика, или $C(X)=H^{ev}(X)$ – кольцо классов когомологий чётной размерности и т. д. Категория $V(k)$ и функтор $X\to C(X)$ позволяют определить новую категорию – категорию соответствий $CV(k)$, объектами которой являются многообразия $X\in V(k)$, обозначаемые через $\bar X$, а морфизмы определяются формулой

$$\text{Hom }(\bar{X}, \bar{Y}) = C(X\times Y)$$с обычным законом композиции соответствий. Пусть функтор $C$ принимает значения в категории коммутативных градуированных $\Lambda$–алгебр $A(\Lambda)$, тогда категория $CV(k)$ будет $\Lambda$–аддитивной категорией градуированных соответствий. Более того, $CV(k)$ будет обладать прямыми суммами и тензорными произведениями.

Категория, объектами которой являются многообразия из $V(k)$, а морфизмами – соответствия степени $0$, обозначается $CV^0(k)$. Из $V(k)$ определён естественный функтор в $CV^0(k)$, и функтор $C$ продолжается до функтора $T$ из $CV^0(k)$ в $A(\Lambda)$. Категория $CV^0(k)$, как и $CV(k)$, не является абелевой. Рассматривается её псевдоабелево пополнение – категория $M^+_C(k)$, которая получается из $CV^0(k)$ формальным добавлением образов всех проекторов $p$. Точнее, объектами $M^+_C(k)$ являются пары $(\bar{X}, p)$, где $\bar{X}\in CV^0(k)$ и $p\in \text{Hom } (\bar{X}, X)$, $p^2=p$, а $\text{Hom }((\bar{X}, p), (\bar{Y}, q))$ – это множество соответствий $f:\bar{X}\to \bar{Y}$, таких, что $f \circ p=q\circ f$, по модулю соответствий $g$ с $g\circ p = p\circ g=0$. Категория $CV^0(k)$ вкладывается в $M^+_C(k)$ посредством функтора $\bar{X}\to (\bar{X}, id)$. Естественный функтор $h : V(k)\to M^+_C(k)$ называется функтором мотивных когомологий, а $M^+_C(k)$ – категорией эффективных мотивов.

Пусть $p=(1\times e)$, где $e$ – класс любой рациональной точки на проективной прямой $P^1$, a $L=(P^1, p)$. Тогда

$$h(P^n)=1\oplus L\oplus L^{\bigotimes 2} \oplus \ldots\oplus L^{\bigotimes n}.$$Если $X=P(E)$ – проективизация локально свободного пучка $E$ ранга $r$ на $Y$, то

$$h(X) = \bigoplus_{i=0}^{r-1}\left(h(Y)\otimes L^{\bigotimes i} \right).$$Вычислены также мотивы моноидального преобразования с неособым центром и мотивы кривых, мотивы абелева многообразия и мотивы гиперповерхностей Вейля.

Категория мотивов $M_C(k)$ получается из $M^+_C(k)$ формальным добавлением отрицательных степеней мотива $L$. По аналогии с $l$–адическими когомологиями $T=L^{ \bigotimes -1}$ называется мотивом Тейта. Операция тензорного умножения на мотив $T$ называется скручиванием с помощью мотива Тейта. Скручивание позволяет определить понятие уровня мотива, как в $l$–адических когомологиях. Любой функтор когомологий Вейля пропускается через функтор $h : V(k) \to M_C(k)$. Имеется гипотеза, что $M_C(k)$ в некотором смысле не зависит от теории пересечений $C$ и что сам функтор $X\to h(X)$ является (универсальной) теорией когомологий Вейля. Эта гипотеза тесно связана со стандартными гипотезами Гротендика об алгебраических циклах.