Теоре́ма Перро́на – Фробе́ниуса, пусть действительная квадратная $(n \times n)$-матрица $A$, рассматриваемая как оператор в пространстве $\mathbb{R}^n$, не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица называется неразложимой) и неотрицательна (т. е. все её элементы неотрицательны). И пусть $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ – её собственные значения, занумерованные так, что

$$\left|\lambda_1\right|=\ldots=\left|\lambda_h\right|> \left|\lambda_{h+1}\right| \geqslant \ldots \geqslant \left|\lambda_n\right|,\quad 1 \leqslant h \leqslant n.$$Тогда:

1) число $r=\left|\lambda_1\right|$ – простой положительный корень характеристического многочлена матрицы $A$;

2) существует собственный вектор матрицы $A$ с положительными координатами, соответствующий $r$;

3) числа $\lambda_1, \ldots, \lambda_h$ совпадают с точностью до нумерации с числами $r$, $\omega r, \ldots, \omega^{h-1} r$, где $\omega=e^{2 \pi i / h}$;

4) произведение любого собственного значения матрицы A на $\omega$ есть собственное значение матрицы A;

5) при $h>1$ найдётся перестановка строк и столбцов, приводящая матрицу $A$ к виду

$$\begin{Vmatrix} 0 &A_1 &0 &\ldots &0 &0\\ 0 &0 &A_2 &\ldots &0 &0\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &A_{h-1}\\ A_h &0 &0 &\ldots &0 &0 \end{Vmatrix},$$где $A_j$ – матрицы порядка $n h^{-1}$.

О. Перрон доказал в (Perron. 1907) утверждения 1) и 2) для положительных матриц, а в полном объёме приведённую теорему доказал Ф. Фробениус в (Frobenius. 1912).