Теоре́ма Дирихле́ о просты́х чи́слах в арифметической прогрессии, каждая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой – натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел. Фактически П. Дирихле доказал (Дирихле. 1936), что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l, k$

$$\lim _{s \rightarrow 1+0} \frac{\sum_p \frac{1}{p^s}}{\ln \frac{1}{s-1}}=\frac{1}{\varphi(k)},$$где суммирование ведётся по всем простым числам $p$ с условием $p \equiv l(\bmod k)$, а $\varphi(k)$ – функция Эйлера. Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов $l(\bmod k)$, поскольку

$$\lim _{s \rightarrow 1+0}\frac{ \sum_p \frac{1}{p^s}}{\ln \frac{1}{s-1}}=1,$$где суммирование ведётся по всем простым числам.

Пусть $x>1$ – целое, $\pi(x ; l, k)$ – число простых $p \leqslant x$ с условием $p \equiv l(\bmod k)$, где $0<l<k$, $l$ и $k$ – взаимно просты. Тогда

$$\pi(x ; l, k)=\frac{\int_2^x \frac{d \varphi}{\ln u}}{\varphi(k)}+ O\bigl(xe^{-c\sqrt{\ln x}}\bigr),$$где оценка остаточного члена равномерна по всем $k \leqslant(\ln x)^A$ при любом фиксированном $A>0$, $c=c(A)>0$ – величина, зависящая только от $A$ (неэффективно). Это современная форма теоремы Дирихле, непосредственно показывающая характер распределения простых чисел $p \equiv l(\bmod\, k)$ в натуральном ряде чисел. Существует предположение (расширенная гипотеза Римана), что при фиксированных взаимно простых $l$ и $k$ и любых целых $x>1$

$$\pi(x ; l, k)=\frac{\int_2^x \frac{d u}{\ln u}}{\varphi(k)}+ O\bigl(x^{1 / 2 +\varepsilon}\bigr),$$где $\varepsilon>0$ – произвольно, а $O$ – величина, зависящая от $k$ и $\varepsilon$.