Сла́бый экстре́мум, минимальное или максимальное значение $J(\widetilde{y})$, достигаемое функционалом $J({y})$ на кривой $\widetilde{y}(x)$, $x_1\leqslant x\leqslant x_2$, для которого выполняется одно из неравенств$$J(\widetilde{y})\leqslant J({y})\ \ \text{ или }\ \ J(\widetilde{y})\geqslant J({y})$$для всех кривых сравнения $y(x)$, находящихся в $\varepsilon$-близости от кривой $\widetilde{y}(x)$ как по ординате, так и по производной:$$|y(x)-\widetilde{y}(x)|\leqslant \varepsilon,\quad |y'(x)-\widetilde{y}'(x)|\leqslant \varepsilon.$$Кривые $\widetilde{y}(x)$, $y(x)$ должны удовлетворять заданным граничным условиям.

Поскольку максимизация функционала $J({y})$ эквивалентна минимизации функционала $- J({y})$, то часто вместо слабого экстремума говорят о слабом минимуме. Термин «слабый» подчёркивает, что на кривые сравнения $y(x)$ наложено условие $\varepsilon$-близости не только по ординате, но и по производной [в отличие от сильного экстремума, где от $y(x)$ требуется $\varepsilon$-близость к $\widetilde{y}(x)$ только по ординате].

По определению, слабый экстремум является слабым относительным экстремумом, поскольку даёт экстремум не абсолютный, т. е. не на всём классе допустимых кривых сравнения $y(x)$, на которых функционал $J({y})$ имеет смысл, а локальный, относительный, соответствующий некоторому подмножеству всех допустимых кривых сравнения. Однако для краткости употребляют термин «слабый экстремум».