Си́льное дифференци́рование неопределённого интеграла, нахождение сильной производной неопределённого интеграла

$$F(I)=\int\limits_If(x)\,dx$$действительнозначной функции $f(x)$, суммируемой на открытом подмножестве $G$ $n$-мерного евклидова пространства, рассматриваемого как функция сегмента $I\subset G$. Если функция

$$|f|\bigl(\ln(1+|f|)\bigr)^{n-1}$$суммируема на $G$ (в частности, если $f\in L^p(G)$, $p>1$), то интеграл $F$ от $f$ сильно дифференцируем почти всюду на $G$. Для любой функции $\varphi(u)$, $u\geqslant0$, положительной, неубывающей и такой, что

$$\varphi(u)=o(u\ln^{n-1}u)$$при $u\to\infty$, существует такая суммируемая на $G$ функция $f\geqslant0$, что $\varphi(f(t))$ также суммируема и отношение $F(I)/|I|$ неограниченно в каждой точке $x\in G$ при $I$, стремящемся к $x$, т. е. $F$ не является сильно дифференцируемым.