Семиинвариа́нт, 1) то же, что полуинвариант.

2) Семиинвариант – одна из числовых характеристик случайных величин, родственная понятию момента старшего порядка. Если $\xi=\left(\xi_1, \ldots, \xi_k\right)$ – случайный вектор, $\varphi_{\xi}(t)=\mathrm{E} e^{i(t, \xi)}$ – его характеристическая функция, $t=\left(t_1, \ldots, t_k\right)$, $t_i \in R$,

$$(t, \xi)=\Sigma_{i=1}^k t_i \xi_i$$и для некоторого $n \geqslant 1$ моменты $\mathrm{E}\left|\xi_i\right|^n<\infty$, $i=1, \ldots, k$, то существуют (смешанные) моменты

$$m_{\xi}^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)}=\mathrm{E}_1\xi^{\nu_1} \ldots \xi_k^{\nu_k}$$для всех неотрицательных целочисленных $\nu_1, \ldots, \nu_k$ таких, что $\nu_1+\ldots+\nu_k \leqslant n$. Тогда

$$\begin{aligned} \varphi_{\xi}(t)&=\sum_{\nu_1+\ldots+\nu_k \leqslant n} \frac{i^{\nu_1+\ldots+\nu_k}}{\nu_1 ! \ldots \nu_{k}!} m_{\xi}^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)} \times \\ & \quad\times t_1^{\nu_1} \ldots t_k^{\nu_k}+o\left(|t|^n\right), \end{aligned}$$где $|t|=\left|t_1\right|+\ldots+\left|t_k\right|$ и для достаточно малых $|t|$ главное значение $\ln \varphi_{\xi}(t)$ представимо по формуле Тейлора в виде

$$\begin{gathered} \ln \varphi_{\xi}(t)=\sum_{\nu_1+\ldots+\nu_k \leqslant n} \frac{i^{\nu_1+\ldots+\nu_k}}{\nu_{1}! \ldots \nu_{k} !} s_{\xi}^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)} \times \\ \times t_1^{\nu_1} \ldots t_k^{\nu_k}+o\left(|t|^n\right), \end{gathered}$$где коэффициенты $s_{\xi}^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)}$ называются (смешанными) семиинвариантами (или кумулянтами) порядка $\nu=\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)$ вектора $\xi=\left(\xi_1, \ldots, \xi_k\right)$. Для независимых случайных векторов $\xi=\left(\xi_1, \ldots, \xi_k\right)$ и $\eta=\left(\eta_1, \ldots, \eta_k\right)$

$$s_{\xi+\eta}^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)}=s_{\xi}^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)}+s_\eta^{\left(\nu_1, \ldots, \nu_k\right)},$$т. е. семиинвариант суммы независимых случайных векторов есть сумма семиинвариантов. Именно это и послужило причиной термина «семиинвариант», отражающего свойство аддитивности для случая независимых величин (но это свойство уже, вообще говоря, неверно для зависимых величин).

Между моментами и семиинвариантами справедливы следующие формулы связи:

$$\begin{gathered} m_{\xi}^{(\nu)}=\sum\nolimits^* \frac{1}{q !} \frac{\nu !}{\lambda^{(1)} ! \ldots \lambda^{(q)} !} \prod_{p=1}^q s_{\xi}^{\left(\lambda^{(p)}\right)}, \\ s_{\xi}^{(\nu)}=\sum\nolimits^*\frac{(-1)^{q-1}}{q} \frac{\nu !}{\lambda^{(1)} ! \ldots \lambda^{(q)} !} \prod_{p=1}^q m_{\xi}^{\left(\lambda^{(p)}\right)}, \end{gathered}$$где $\sum\nolimits^*$ означает суммирование по всем упорядоченным наборам целых неотрицательных векторов $\lambda^{(p)}$, $|\lambda^{(p)}| >0$, дающих в сумме вектор $\nu$. В частности, если $\xi$ – случайная величина $(k=1)$, $m_n=m_{\xi}^{(n)}=\mathrm{E} \xi^n$, $s_n= s_{\xi}^{(n)}$, то

$$\begin{aligned} & m_1=s_1, \\ & m_2=s_2+s_1^2, \\ & m_3=s_3+3 s_1 s_2+s_1^3, \\ & m_4=s_4+3 s_2^2+4 s_1 s_3+6 s_1^2 s_2+s_1^4, \end{aligned}$$и

$$\begin{aligned} & s_1=m_1(=\mathrm{E} \xi), \\ & s_2=m_2-m_1^2(=\mathrm{D} \xi), \\ & s_3=m_3-3 m_1 m_2+2 m_1^3, \\ & s_4=m_4-3 m_2^2-4 m_1 m_3+12 m_1^2 m_2-6 m_1^4. \end{aligned}$$