Разры́вная фу́нкция, функция $f: X\to Y$, где $X$ и $Y$ – топологические пространства, не являющаяся непрерывной функцией на пространстве $X$. Среди разрывных действительных функций $f:X\to\mathbb R$ важные классы составляют классы Бэра, кусочно-непрерывные функции, ступенчатые функции.

Разрывные функции возникают, например, при интегрировании по параметру элементарных функций (см. Разрывный множитель Дирихле), при вычислении суммы функциональных рядов, членами которых являются элементарные функции, в частности при вычислении суммы тригонометрических рядов, в задачах оптимального управления.

Примеры.

$1)\,\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^n} = \left\{\begin{aligned} 0, &\ \text{если } x=0,\\ 1+x^2, &\ \text{если } x\ne 0. \end{aligned}\right.$

$2)\,\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{nx}}{n} = \left\{\begin{aligned} 0, &\ \text{если } x=0,\\ \frac{\pi-x}{2}, &\ \text{если } 0<x<2\pi. \end{aligned}\right.$