Ра́зностное мно́жество (совершенное разностное множество), множество $D$, состоящее из $k$ вычетов $d_1, d_2, \ldots, d_k$ по модулю некоторого натурального числа $v$, причём для каждого $a \in D$, $a \not\equiv 0(\bmod v)$, существует точно $\lambda$ упорядоченных пар $\left(d_i, d_j\right)$ элементов из $D$ таких, что$$a \equiv d_i-d_j(\bmod v);$$числа $v$, $k$, $\lambda$ называются параметрами разностного множества. Например, множество $D=\{1,3,4,5,9\}$ вычетов по модулю $11$ есть разностное множество c $\lambda=2$.

Разностные множества тесно связаны с блок-схемами, а именно: существование разностного множества равносильно существованию симметричной блок-схемы с параметрами $(v, k, \lambda)$, обладающей циклической группой автоморфизмов порядка $v$ (блоки такой схемы суть множества $\left\{d_1+i, \ldots, d_k+i\right\}$, $i=0,1, \ldots, v-1$). Идея разностного множества обобщается следующим образом: множество $D$, состоящее из $k$ различных элементов $d_1, \ldots, d_k$ группы $G$ порядка $v$, называется $(v, k, \lambda)$-разностным множеством в $G$, если для любого $a \in G$, $a \neq 1$, существует в точности $\lambda$ упорядоченных пар $\left(d_i, d_j\right)$, $d_i$, $d_j \in G$, таких, что $d_i d_j^{-1}=a$ [или, что то же, $\lambda$ пар $\left(d_i, d_j\right)$ с $d_i^{-1} d_j=a$]. Тогда определённое выше разностное множество называется циклическим разностным множеством (т. к. группа классов вычетов по $\bmod v$ есть циклическая группа). Существование $(v, k, \lambda)$-разностных множеств в группе $G$ порядка $v$ равносильно существованию симметричной блок-схемы с параметрами $v, k, \lambda$, допускающей $G$ в качестве регулярной (т. е. без неподвижных элементов) группы автоморфизмов (эта схема получается отождествлением элементов блок-схемы с элементами группы и блоков – с множествами $\left\{d_1 g, \ldots, d_k g\right\}$, где $g$ пробегает $G$).

Основным в теории разностного множества является вопрос о существовании и построении разностного множества с заданными параметрами.

При его изучении оказывается полезным понятие множителя разностного множества: автоморфизм группы $G$ называется множителем $(v, k, \lambda)$-разностного множества $D$ в $G$, если он является также автоморфизмом блок-схемы, определяемой разностным множеством $D$. Для циклического разностного множества множитель – это число $t$, взаимно простое с $v$ и с тем свойством, что$$\left\{t d_1, \ldots, t d_k\right\}=\left\{d_1+i, \ldots, d_k+i\right\}$$для некоторого $i$, $0 \leqslant i \leqslant v-1$. Множители циклического разностного множества образуют группу. Справедливо утверждение: если $D$ – циклическое $(v, k, \lambda)$-разностное множество и если $p$ – простое число, делящее $k-\lambda$ и такое, что $(p, v)=1$ и $p>\lambda$, то $p$ – множитель $D$ (теорема o множителе разностного множества). При построении разностного множества полезен следующий результат: для любого множителя $(v, k, \lambda)$-разностного множества $D$ в абелевой группе $G$ порядка $v$ в блок-схеме, определяемой $D$, существует блок, фиксируемый этим множителем; при $(v, k)=1$ существует блок, фиксируемый любым множителем.

Разностные множества обычно строятся прямыми методами с использованием свойств конечных полей, полей деления круга (см. статью Круговое поле), а также конечных геометрий. Известно несколько бесконечных семейств разностного множества, например следующие типы $S$ и $Q$.

1. Тип $S$ (разностные множества Зингера): это – гиперплоскости в $n$-мерной проективной геометрии над полем из $q$ элементов; параметры:$$\begin{gathered} v=\left(q^{n+1}-1\right) /(q-1), \\ k=\left(q^n-1\right) /(q-1), \quad \lambda=\left(q^{n-1}-1\right) /(q-1) . \end{gathered}$$2. Тип $Q$: квадратичные вычеты в поле $G F\left(p^r\right)$ при $p^r \equiv 3(\bmod 4)$ ($p$ – простое число); параметры:$$v=p^r=4 t-1, \quad k=2 t-1, \quad \lambda=t-1.$$Другие бесконечные семейства разностных множеств (Xолл. 1970, Baumert. 1971, Hall. 1974). Наряду с разностными множествами часто рассматриваются обобщённые разностные множества, или разностные семейства, – это множества $D_1, \ldots, D_r$, состоящие из вычетов по $\bmod v$ и такие, что для любого $a \neq 0(\bmod v)$ существует точно $\lambda$ упорядоченных пар $\left(d_i, d_j\right)$, $d_i$, $d_j \in D_k$, c$$a \equiv d_i-d_j(\bmod v)$$для некоторого $k$, $1 \leqslant k \leqslant r$.

Имеются также другие обобщения разностных множеств.