Термины

Расслоение Хопфа

Расслое́ние Xóпфа, локально тривиальное расслоение f:S2n1Snf: S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n} при n=2,4,8.n=2,4,8. Это один из самых ранних примеров локально тривиальных расслоений, введённый . Эти индуцируют тривиальные отображения в и когомологиях, однако они не гомотопны нулевому отображению, что вытекает из нетривиальности этих отображений. Для их построения потребуется т. н. конструкция Хопфа.

Пусть XYX*Y – джойн пространств XX и YY, он обладает естественными координатами x,t,y\langle x, t, y\rangle, где xXx \in \mathrm{X}, t[0,1]t \in[0,1], yYy \in Y . При этом Xpt=SXX*pt=SX, где SXSX – надстройка над XX. Конструкция Хопфа H\mathfrak{H} сопоставляет отображению f:X×YZf: X \times Y \longrightarrow Z отображение H(f):XYSZ\mathfrak{H}(f): X *Y \longrightarrow SZ, заданное соотношением H(f)x,t,y=f(x,y),t,pt \mathfrak{H}(f)\langle x, \quad t, \quad y\rangle=\langle f(x, y), t, pt\rangle.

Пусть отображения μn:Sn1×Sn1Sn1\mu_{n}: S^{n-1} \times S^{n-1} \longrightarrow S^{n-1} определены при n=2,4,8n=2,4,8 при помощи умножений: в при n=2n=2, в при n=4n=4 и в числах Кэли при n=8n=8. Тогда Sn1Sn1=S2n1S^{n-1} * S^{n-1}=S^{2 n-1}, и отображением Хопфа называется отображение

Hn=H(μn):S2n1Sn.\mathfrak{H}_{n}=\mathfrak{H}(\mu_{n}): S^{2 n-1} \rightarrow S^{n}.Отображение Хопфа Hn\mathfrak{H}_{n}, n=2,4,8n=2,4,8, является локально тривиальным расслоением со слоем Sn1S^{n-1}. Если f:Sn1×Sn1Sn1f: S^{n-1} \times S^{n-1} \longrightarrow S^{n-1} – отображение бистепени (d1,d2)(d_{1},d_{2}), то инвариант Хопфа отображенияH(f) \mathfrak{H}(f) равен d1d2d_{1}d_{2}. В частности, инвариант Хопфа расслоения Хопфа равен 11.

Иногда расслоением Хопфа называют отображение f:S2n+1CPnf: S^{2 n+1} \longrightarrow \mathbb{C} P^{n}, заданное формулой (z0,,zn)[z0:z1::zn]\left(z_{0}, \ldots, z_{n}\right) \longmapsto\left[z_{0}: z_{1}: \ldots: z_{n}\right], ziCz_{i} \in \mathbb{C}. Это отображение является локально тривиальным расслоением со слоем S1S^{1}. При n=1n=1 получается классическое расслоение Xопфа f:S3S2f: S^{3}\longrightarrow S^{2}.

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Отображение