Расслоение Хопфа

Расслое́ние Xóпфа, локально тривиальное расслоение $f: S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n}$ при $n=2,4,8.$ Это один из самых ранних примеров локально тривиальных расслоений, введённый Х. Хопфом. Эти отображения индуцируют тривиальные отображения в гомологиях и когомологиях, однако они не гомотопны нулевому отображению, что вытекает из нетривиальности инварианта Xопфа этих отображений. Для их построения потребуется т. н. конструкция Хопфа.

Пусть $X*Y$ – джойн пространств $X$ и $Y$, он обладает естественными координатами $\langle x, t, y\rangle$, где $x \in \mathrm{X}$, $t \in[0,1]$, $y \in Y$. При этом $X*pt=SX$, где $SX$ – надстройка над $X$. Конструкция Хопфа $\mathfrak{H}$ сопоставляет отображению $f: X \times Y \longrightarrow Z$ отображение $\mathfrak{H}(f): X *Y \longrightarrow SZ$, заданное соотношением $\mathfrak{H}(f)\langle x, \quad t, \quad y\rangle=\langle f(x, y), t, pt\rangle$.

Пусть отображения $\mu_{n}: S^{n-1} \times S^{n-1} \longrightarrow S^{n-1}$ определены при $n=2,4,8$ при помощи умножений: в комплексных числах при $n=2$, в кватернионах при $n=4$ и в числах Кэли при $n=8$. Тогда $S^{n-1} * S^{n-1}=S^{2 n-1}$, и отображением Хопфа называется отображение

$\mathfrak{H}_{n}=\mathfrak{H}(\mu_{n}): S^{2 n-1} \rightarrow S^{n}.$Отображение Хопфа $\mathfrak{H}_{n}$, $n=2,4,8$, является локально тривиальным расслоением со слоем $S^{n-1}$. Если $f: S^{n-1} \times S^{n-1} \longrightarrow S^{n-1}$ – отображение бистепени $(d_{1},d_{2})$, то инвариант Хопфа отображения$\mathfrak{H}(f)$ равен $d_{1}d_{2}$. В частности, инвариант Хопфа расслоения Хопфа равен $1$.

Иногда расслоением Хопфа называют отображение $f: S^{2 n+1} \longrightarrow \mathbb{C} P^{n}$, заданное формулой $\left(z_{0}, \ldots, z_{n}\right) \longmapsto\left[z_{0}: z_{1}: \ldots: z_{n}\right]$, $z_{i} \in \mathbb{C}$. Это отображение является локально тривиальным расслоением со слоем $S^{1}$. При $n=1$ получается классическое расслоение Xопфа $f: S^{3}\longrightarrow S^{2}$.