Распределение Лапласа

Распределе́ние Лапла́са (двустороннее показательное распределение), распределение вероятностей случайной величины $X$, заданное плотностью вероятности

$$p(x, \alpha,\beta)= \frac12 \alpha e^{-\alpha|x-\beta|}, \quad -\infty<t<+\infty,$$

где $\alpha$ и $\beta$, $\alpha>0,\text{ }-\infty<\beta<\infty$, – параметры. Распределение Лапласа симметрично относительно точки $x=\beta$, имеет конечные моменты любого порядка, в частности его математическое ожидание и дисперсия равны $\mathrm EX=\beta$ и $\mathrm DX=1/\alpha$ , его характеристическая функция равна

$$e^{it\beta}\Big\lgroup 1 + \dfrac{t^2}{\alpha^2} \Big\rgroup^{-1}, \text{ }-\infty \lt t \lt +\infty.$$Распределение Лапласа совпадает с распределением случайной величины $\beta + X_1-X_2$, где $X_1$ и $X_2$ – независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с плотностью, равной 0 при $x⩽ 0$ и равной $αe^{–αx}$ при $x>0$.

Распределение Лапласа введено П.-С. Лапласом (1812) и иногда называется первым законом Лапласа, в отличие от второго закона, которым иногда называют нормальное распределение.