Ранг мо́дуля, 1) ранг левого модуля $M$ над кольцом $R$, вложимым в тело $k$, – размерность тензорного произведения $k_R \otimes M$, рассматриваемого как векторное пространство над $k$. Если $R=\mathbb{Z}$ – кольцо целых чисел, то это определение совпадает с обычным определением ранга абелевой группы. Если тело $k$ является плоским $R$-модулем (например, $k$ – тело частных кольца $R$), то для точной последовательности

$$0 \longrightarrow M^{\prime} \longrightarrow M \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow 0$$выполняется следующее равенство между рангами:

$$\operatorname{rk} M= \operatorname{rk} M^{\prime}+ \operatorname{rk} M^{\prime \prime}.$$2) Ранг свободного модуля $M$ над произвольным кольцом $R$ определяется как число его свободных образующих. Для колец, вложимых в тело, это определение совпадает с определением из пункта 1. В общем случае ранг свободного модуля определяется неоднозначно. Существуют кольца (называемые $n-F I$-кольцами), над которыми любой свободный модуль с не более чем $n$ свободными образующими имеет однозначно определённый ранг, а для свободных модулей с числом образующих, большим $n$, это свойство неверно. Достаточным условием однозначности ранга свободного модуля над кольцом $R$ является существование гомоморфизма $\varphi: R \rightarrow k$ в тело $k$. В этом случае понятие ранга модуля распространяется на проективные модули следующим образом. Гомоморфизм $\varphi$ индуцирует гомоморфизм групп проективных классов $\varphi^*: K_0 R \rightarrow K_0 k \approx \mathbb{Z}$, и рангом проективного модуля $P$ называется образ представителя модуля $P$ в $\mathbb{Z}$. Гомоморфизм $\varphi$ существует для произвольного коммутативного кольца $R$.