Пробле́ма кру́га, проблема наилучшей асимптотической оценки числа $A(x)$ целых точек $(u, v)$ в круге $u^2+v^2\leqslant x$. Пусть $\theta$ – нижняя грань числа $\alpha$ в равенстве

$$A(x)=\pi x+O(x^\alpha). \tag{$*$}$$К. Ф. Гаусс (см. Gauss. 1863) доказал, что $\theta\leqslant ^1\!\!\!/_2$. Β. Серпиньский (Sierpiński. 1906) по методу Г. Ф. Вороного (Вороной. 1952) установил, что $\theta\leqslant ^1\!\!\!/_3$. Найдена оценка $\theta\leqslant ^{13}\!\!/_{40}$ (см. Хуа Логэн. 1964). Существует гипотеза, что остаточный член в формуле $(*)$ есть

$$O(x^{1/4}\log^2x).$$Среднее значение для проблемы круга:

$$\int_0^N(A(x)-\pi x)^2\,dx=CN^{3/2}+O(N^{1+\varepsilon}),$$где $C$ – некоторая абсолютная постоянная, $\varepsilon >0$ – любое.

Проблема круга по содержанию и методам исследования во многом аналогична проблеме делителей Дирихле (см. в статье Проблемы делителей). Обобщением проблемы круга является проблема шара – проблема оценки числа $B(x)$ целых точек $(u, v, w)$ в шаре $u^2+v^2+w^2\leqslant x$. Исходной для оценки является формула

$$B(x)=24G(x)+O(\sqrt{x}),$$где

$$G(x)=\sum\nolimits_{0<u\leqslant\sqrt{x/3}} \times \\ \, \\ \times\sum\nolimits_{u<v\leqslant\sqrt{(x-u^2)/2}} ([\sqrt{x-u^2-v^2}]-v)+ \\ \, \\ +\tfrac12 \sum\nolimits_{0<v\leqslant\sqrt{x/2}} ([\sqrt{x-v^2}]-v)+ \\ \, \\ +\tfrac12\sum\nolimits_{0<u\leqslant\sqrt{x/3}} ([\sqrt{x-2u^2}]-u)+O(\sqrt{x}),$$которая получается за счёт разбиения шара шестью плоскостями

$$u=v, \; u=w, \; v=w, \; v=0, \; u=0, w=0$$на $24$ части, имеющие одинаковое число целых точек, если считать точки на плоскостях сечений с коэффициентами $^1\!/_2$. Главный член роста $B(x)$ равен объёму шара

$$V(x)=\tfrac{2\pi}{3} x^{3/2};$$проблема сводится κ оценке $P(x)=B(x)-V(x)$ – величины суммы дробных долей функций, стоящих под знаком $[\;\; ]$ в выражении для $G(x)$. Наиболее глубокие оценки для $P(x)$ получены на основе метода тригонометрических сумм И. М. Виноградовым (Виноградов. 1963; 2004):

$$P(x)=O(x^{2/3}\log^6 x).$$Существует гипотеза, что

$$P(x)=O(x^{1/2}\log^2x).$$Обобщением проблемы круга и проблемы шара является проблема оценки $A_F(x)$ – числа целых точек в $n$-мерных эллипсоидах

$$F(u_1,\ldots,u_n)=\sum_{r,\nu=1}^n a_{r\nu}u_ru_\nu\leqslant x,\, a_{r\nu}=a_{\nu r},$$где $F$ – положительно определённая квадратичная форма (см. Novak. 1973).