При́нцип расшире́ния о́бласти (принцип Карлемана), гармоническая мера $\omega(z, \alpha, D)$ дуг $\alpha$ границы $\Gamma$ области $D$ может только возрастать при расширении области $D$ через дополнительные дуги $\beta \subset \Gamma$, $\alpha \cup \beta=\Gamma$. Точнее, пусть граница $\Gamma$ области $D$ на плоскости комплексного переменного $z$ состоит из конечного числа жордановых кривых, $\alpha$ – часть $\Gamma$, состоящая из конечного числа дуг $\Gamma$, и пусть область $D^{\prime}$ есть расширение области $D$ через дополнительные дуги $\beta=\Gamma \backslash \alpha$, т. е. $D \subset D^{\prime}$ и $\alpha$ есть часть границы $\Gamma^{\prime}$ области $D^{\prime}$. Тогда для гармонических мер справедливо неравенство $\omega(z, \alpha, D) \leqslant \omega\left(z, \alpha, D^{\prime}\right)$, $z \in D$, причём знак равенства здесь имеет место только в случае $D^{\prime}=D$. Принцип расширения области справедлив и для гармонической меры относительно областей евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, или $\mathbb{C}^n$, $n \geqslant 1$.

Принцип расширения области находит важные применения в различных ситуациях, связанных с оценками гармонической меры. Например, ещё Т. Карлеман (Carleman. 1921) дал при помощи принципа расширения области решение следующей проблемы Карлемана – Мийю. Пусть граница $\Gamma$ односвязной области $D$ состоит из конечного числа жордановых дуг, точка $\zeta$ расположена на $\Gamma$ или $\zeta \in C \bar{D}$, $\Delta=\{z:|z-\zeta|<R\}$ – круг радиуса $R$ с центром $\zeta$, а $\alpha$ – часть $\Gamma$, попавшая в $\Delta_R=\Delta \cap D$. Требуется найти оценку снизу для гармонической меры $\omega\left(z, \alpha, \Delta_R\right)$, зависящую только от $R$ и $|z-\zeta|$, $z \in \Delta_R$. Решение выражается неравенством

$$\omega\left(z, \alpha, \Delta_R\right) \geqslant \frac{2}{\pi} \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{\theta(R)} \ln \frac{R}{|z-\zeta|}\right), \tag{1}$$где $R \theta(R)$ – сумма длин дуг пересечения

$$\{z:|z-\zeta|=R\} \cap D.$$Поскольку $\theta(R) \leqslant 2 \pi$, то

$$\omega\left(z, \alpha, \Delta_R\right) \geqslant \frac{2}{\pi} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\pi} \ln \frac{R}{|z-\zeta|}\right), z \in \Delta_R. \tag{2}$$Имеются обобщения проблемы Карлемана – Мийю и уточнения формул (1), (2) (Неванлинна. 1941). Принцип расширения области позволяет доказать также теоремы Линделёфа. Многочисленные применения принципа расширения области и формул типа (1), (2) дал А. Мийю (Milloux. 1924, а также Неванлинна. 1941; Евграфов. 1968).