При́нцип Ли́нделёфа, основной качественный вариационный принцип в теории конформного отображения, найденный Э. Линделёфом (Lindelӧf. 1909). Пусть односвязные области $D$ и $\tilde{D}$ на плоскости комплексного переменного $z$ таковы, что их границы $\Gamma$ и $\tilde{\Gamma}$ соответственно состоят из конечного числа жордановых дуг, причём $\tilde{D}$ содержится в $D$, и пусть точка $z_0 \in \tilde{D} \subset D$. Пусть, кроме того, $w=f(z)$ и $w=\tilde{f}(z)$ – функции, реализующие конформное отображение соответственно $D$ и $\tilde{D}$ на единичный круг $\Delta=\{w:|w|<1\}$, причём $f\left(z_0\right)=0$, $\tilde{f}\left(z_0\right)=0$. Принцип Линделёфа состоит в том, что при этих условиях: 1) прообраз $\tilde{D}_\rho$ области $|w|<\rho$, $0<\rho<1$, при отображении $w=\tilde{f}(z)$ лежит внутри прообраза $D_\rho$ этой же области $|w|<\rho$ при отображении $w=f(z)$, причём соприкосновение их границ $\tilde{\Gamma}_\rho$ и $\Gamma_\rho$ возможно лишь, если $\tilde{D}=D$; 2) $\left|\tilde{f}^{\prime}\left(z_0\right)\right| \geqslant \left|f^{\prime}\left(z_0\right)\right|$, причём знак равенства возможен лишь, если $\tilde{D}=D$; 3) если существует общая точка $z_1$ контуров $\tilde{\Gamma}$ и $\Gamma$, то

$$\left|\tilde{f^{\prime}}\left(z_1\right)\right| \leqslant\left|f^{\prime}\left(z_1\right)\right|,$$причём знак равенства возможен лишь, если $\tilde{D}=D$. Иными словами, при вдавливании внутрь границы $\Gamma$ области $D$: 1) все линии уровня $\Gamma_\rho$, т. е. прообразы окружностей $|w|=\rho$, сжимаются; 2) растяжение в точке $z_0$ увеличивается; 3) растяжение в неподвижных точках $z_1$ границы уменьшается.

Из приведённой формулировки принципа Линделёфа вытекает также, что длина образа дуги $\gamma$ границы $\Gamma$, подвергшейся вдавливанию до дуги $\tilde{\gamma}$, всегда не превосходит длины образа $\tilde{\gamma}$ [длина $f(\gamma) \leqslant$ длины $\tilde{f}(\tilde{\gamma})$], причём равенство имеет место только в случае $\tilde{\Gamma}=\Gamma$. Это следствие принципа Линделёфа известно также как принцип Монтеля.

В более общей ситуации, когда $\tilde{D}$ и $D$ – конечносвязные области, ограниченные конечным числом жордановых кривых и расположенные соответственно в плоскостях $z$ и $w$, $w=f(z)$ – мероморфная функция в $\tilde{D}$, значения которой лежат в $D$, принцип Линделёфа состоит в следующем. Если $w_0$ – точка образа $f(\tilde{D})$ области $\tilde{D}$; $\left\{z_\nu\right\}$, $\nu=0,1, \ldots$, – множество точек $\tilde{D}$, для которых $f\left(z_\nu\right)=w_0$; $m_\nu$ – кратность нуля $z_\nu$ функции $f(z)-w_0$; $\tilde{g}\left(z, z_\nu\right)$ – функция Грина области $\tilde{D}$ с полюсом $z_\nu$, a $g\left(w, w_0\right)$ – функция Грина области $D$ с полюсом $w_0$, то имеет место неравенство
$$\tag{1} g\left(w, w_0\right) \geqslant \sum_{\nu=0}^{\infty} m_\nu \tilde{g}\left(z, z_\nu\right)$$для всех $z \in \tilde{D},$ $w=f(z)$. При этом если в $(1)$ имеет место равенство хотя бы в одной точке $z \in \tilde{D}$, то оно выполняется всюду в $\tilde{D}$. В частности, неравенство
$$\tag{2} g\left(w, w_0\right) \geqslant \tilde{g}\left(z, z_0\right),$$вытекающее из $(1)$, и было получено Э. Линделёфом в работе (Lindelӧf. 1909). Оно означает, что образ области $\left\{z: \tilde{g}\left(z, z_0\right)>\lambda\right\}$ всегда расположен внутри области $\left\{w: g\left(w, w_0\right)>\lambda\right\}$.

Принцип Линделёфа в общем виде $(1)$ применим и для произвольных областей $\tilde{D}, D$, но заключение, относящееся к случаю равенства, здесь уже, вообще говоря, не справедливо. Принцип Линделёфа позволяет получить многие количественные оценки изменения конформного отображения при вариации области (Лаврентьев. 2002). Он тесно связан с принципом подчинения, и его можно также рассматривать как обобщение леммы Шварца.