Ле́мма Шва́рца, если функция $f(z)$ регулярна в круге $E=\{|z|<1\}$, $f(0)=0$ и $|f(z)|\leqslant 1$ в $E$, то при $z \in E$ справедливы неравенства$$\tag{1} |f(z)|\leqslant |z| \quad \textsf{и} \quad |f'(0)|\leqslant 1,$$причём знаки равенства в них [в первом из неравенств $(1)$ при $z\not= 0$] имеют место только в случае, когда $f(z)\equiv e^{i\alpha}z$, где $\alpha$ – действительная постоянная (классическая форма леммы Шварца). Эта лемма доказана Г. Шварцем (Schwarz. 1890).

Известны различные формы леммы Шварца. Например, инвариантная форма леммы Шварца: если функция $f(z)$ регулярна в круге $E$ и $|f(z)|\leqslant 1$ в $E$, то для любых точек $z_1, z_2 \in E$ справедливо неравенство$$\tag{2} r_E(f(z_1), f(z_2)) \leqslant r_E (z_1, z_2),$$где $r_E(a, b)$ – гиперболическое расстояние между точками $a$, $b$ в круге $E$ (см. в статье Гиперболическая метрика); кроме того, при $z \in E$ справедливо неравенство$$\tag{3} \frac{|df(z)|}{1-|f(z)|^2} \leqslant \frac{|dz|}{1-|z|^2},$$при этом знаки равенства в $(2)$ и $(3)$ имеют место только в случае, когда $f(z)$ – дробно-линейное отображение круга $E$ на себя.

Неравенство $(3)$ называется также дифференциальной формой леммы Шварца. Интегрирование этого неравенства приводит к следующей формулировке леммы Шварца: при отображении круга $E$ с помощью регулярной функции $f(z)$, для которой $|f(z)| < 1$ при $z \in E$, гиперболическая длина произвольной дуги в $E$ уменьшается, за исключением того случая, когда $f(z)$ реализует однолистное конформное отображение круга $E$ на себя, в этом случае гиперболические расстояния между точками $E$ сохраняются.

Обобщением инвариантной формы леммы Шварца на многосвязные области, в которых может быть определена гиперболическая метрика, служит принцип гиперболической метрики. Известны аналоги леммы Шварца для голоморфных отображений в $n$-мерном комплексном пространстве $\mathbb C^n$ (Шабат. 1976).