Прима́рный идеа́л коммутативного кольца $R$, такой идеал $I \subset R$, что если $a, b \in R$ и $a b \in I$, то либо $b \in I$, либо $a^n \in I$ для некоторого натурального числа $n$. В кольце целых чисел $\mathbb{Z}$ примарный идеал – идеал вида $p^n \mathbb{Z}$, где $p$ – простое, $n$ – натуральное число. Важную роль в коммутативной алгебре играет представление любого идеала коммутативного нётерова кольца в виде пересечения конечного числа примарных идеалов – примарное разложение. Более общо, пусть $\operatorname{ Ass } (M)$ обозначает множество первичных идеалов кольца $R$, являющихся аннуляторами ненулевых подмодулей модуля $M$. Подмодуль $N$ модуля $M$ над нётеровым кольцом $R$ называется примарным, если $\operatorname{Ass}(M / N)$ – одноэлементное множество. Если кольцо $R$ коммутативно, то любой собственный подмодуль нётерова $R$-модуля, не представимый в виде пересечения двух строго содержащих его подмодулей, примарен. В некоммутативном случае это не так, поэтому предпринимались попытки построить различные некоммутативные обобщения понятия примарности. Например, собственный подмодуль $N$ модуля $M$ называется примарным, если для любого ненулевого инъективного подмодуля $E^{\prime}$ инъективной оболочки $E$ модуля $M / N$ пересечение ядер гомоморфизмов из $E$ в $E^{\prime}$ тривиально. Другое удачное обобщение – понятие терциарного идеала (Lesieur. 1963): левый идеал $I$ нётерова слева кольца $R$ называется терциарным, если для любых элементов $a \in R$, $b \in R \setminus I$ из $a R b \subseteq I$ следует, что для любого $c \in R \setminus I$ найдётся элемент $d \in R c \setminus I$ такой, что $a R d \subseteq I$. Оба эти обобщения приводят к некоммутативным аналогам примарного разложения. Каждый терциарный идеал нётерова кольца $R$ примарен в том и только в том случае, когда кольцо $R$ удовлетворяет условию Артина – Риса: для любых левых идеалов $I, J$ кольца $R$ найдётся натуральное число $n$ такое, что $I^n \cap J \subseteq I J$ (Goldman. 1969).