Преобразова́ние Ме́йера, интегральное преобразование вида

$$F(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-xt/2}(xt)^{-\mu-1/2} W_{\mu+1/2,\nu}(xt) f(t)\,dt,$$где $W_{\mu,\nu}(x)$ – функция Уиттекера. Формула обращения имеет вид $$f(t)=\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 \pi i} \frac{\Gamma(1-\mu+\nu)}{\Gamma(1+2 \nu)}\int_{\beta-i \lambda}^{\beta+i \lambda} e^{xt/2} (xt)^{\mu-1/2} M_{\mu-1/2,\nu}(xt)F(x)\,dx,$$где $M_{\mu,\nu}(x$) – функция Уиттекера.

При $\mu=\pm\nu$ преобразование Мейера переходит в преобразование Лапласа; при $\mu=-1/2$ – в $K_{\nu}$-преобразование:

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-xt/2}(xt)^{1/2} K_{\nu}(xt/2)f(t)\,dt,$$где $K_\nu(x)$ – функция Макдональда.

К преобразованию Мейера сводится преобразование Варма:

$$F(x)=\int_{0}^{\infty}(x t)^{\nu-1 / 2} e^{-x t / 2} W_{\mu,\nu}(xt) f(t)\,dt.$$

$K$-преобразование Мейера (преобразование Мейера – Бесселя) – интегральное преобразование вида $$F(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} K_{\nu}(xt) \sqrt{xt} f(t)\,dt.$$Если функция$f(t)$ локально интегрируема на $(0,\infty)$, имеет ограниченное изменение в окрестности точки $t=t_{0}>0$ и сходится интеграл

$$\int_{0}^{\infty} e^{-\beta t}|f(t)|\,dt,\quad \beta>\alpha \geqslant 0,$$то имеет место формула обращения

$$\frac{f(t_{0}+0)+f(t_{0}-0)}{2}=\frac{1}{i \sqrt{2 \pi}} \int_{\beta-i \lambda}^{\beta+i \lambda} I_{\nu}(t_{0} x)(t_{0}x)^{1/2}F(x)\,dx.$$При $v=\pm 1 / 2$ $K$-преобразование Мейера переходит в преобразование Лапласа.

Преобразование Мейера введено К. Мейером (Meijer. 1941), $K$-преобразование Мейера – им же (Meijer. 1940).