Преобразова́ние Ги́льберта функции $f$, несобственный интеграл$$g(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}\, d t. \tag{1}$$Если $f \in L(-\infty, \infty)$, то функция $g$ существует почти для всех значений $x$. Если $f \in L_{p}(-\infty, \infty)$, $p \in(1, \infty)$, тогда функция $g$ также принадлежит $L_{p}(-\infty, \infty)$ и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]:$$f(x)=-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{g(x+t)-g(x-t)}{t}\, d t, \tag{2}$$причём$$\int_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^{2}\, d x \leqslant M_{p} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{p}\, d x, \tag{3}$$где константа $M_{p}$ зависит только от $p$. Формулы (1), (2) эквивалентны формулам$$g(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(t)}{t-x}\, d t,\tag{4}$$$$f(x)=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(t)}{t-x}\, d t, \tag{5}$$в которых интегралы понимаются в смысле главного значения.

Преобразованием Гильберта функции $f$ называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл$$g(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \operatorname{ctg} \frac{t-x}{2}\, d t .\tag6$$Этот интеграл часто называют сингулярным интегралом Гильберта. В теории рядов Фурье функцию $g$, определяемую формулой (6), называют сопряжённой с $f$.

Если$f \in L(0,2 \pi)$, то $g$ существует почти всюду, а если $f$ удовлетворяет условию Липшица с показателем $\alpha \in(0,1)$, то $g$ существует при любом $x$ и удовлетворяет тому же условию. Если $f \in L_{p}(0,2 \pi), p \in(1, \infty)$, то $g$ обладает тем же свойством и имеет место неравенство, аналогичное (3), в котором интегралы взяты на интервале $(0,2 \pi)$. Таким образом, интегральные операторы, порождаемые преобразованием Гильберта, являются ограниченными (линейными) операторами в соответствующих пространствах $L_{p}$.

Когда$f$ удовлетворяет условию Липшица или $f \in L_{p}(0,2 \pi)$ и, кроме того, $\int_{0}^{2 \pi} g(x)\, d x=0$, то имеет место двойственная формула$$f(x)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} g(t) \operatorname{ctg} \frac{t-x}{2}\, d t, \tag{7}$$причём$$\int_{0}^{2 \pi} f(x)\, d x=0 .$$В классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, равенство (7) справедливо всюду, а в классе функций, суммируемых с $p$-й степенью, – почти всюду.

Каждую из выписанных выше двойственных формул можно рассматривать как интегральное уравнение 1-го рода (см. Мусхелишвили. 1968; Бари. 1961); тогда вторая формула даст решение этого уравнения.

Когда функции $\operatorname{ctg} \frac{t-x}{2}$ и $\frac{1}{t-x}$ рассматриваются как ядра интегральных операторов, то их часто называют ядром Гильберта и ядром Коши. Между этими ядрами в случае единичной окружности существует простая связь:$$\frac{d \tau}{\tau-\xi}=\frac{1}{2}\left(\operatorname{ctg} \frac{t-x}{2}+i\right)\, d t,$$где $\xi=e^{ix}$, $\tau=e^{it}$.