Повто́рный ряд, ряд, члены которого являются также рядами$$\tag{1} \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\sum\limits_{m=1}^\infty u_{mn}\right).$$Повторный ряд $(1)$ называется сходящимся, если при любом фиксированном $n$ сходится ряд$$\sum\limits_{m=1}^\infty u_{mn}=a_n$$и, кроме того, сходится ряд$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n.$$Сумма последнего ряда и называется суммой повторного ряда $(1)$. Сумма$$s=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\sum\limits_{m=1}^\infty u_{mn}\right).$$Повторный ряд $(1)$ является повторным пределом его частичных сумм$$s_{mn}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^m u_{kl},$$т. е.$$s=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} s_{mn}.$$Если сходится двойной ряд$$\tag{2} \sum\limits_{m,\,n=1}^\infty u_{mn}$$и при любом натуральном $n$ сходятся ряды$$\sum\limits_{m=1}^\infty u_{mn},$$то сходится и повторный ряд $(1)$, причём он имеет ту же сумму, что и двойной ряд $(2)$. Условие этой теоремы выполняется, в частности, если двойной ряд $(2)$ абсолютно сходится.