Попра́вки Ше́ппарда для моме́нтов, поправки на дискретизацию реализаций непрерывных случайных величин, применяемые с целью уменьшения систематических ошибок в задаче оценивания моментов непрерывных случайных величин при заданной системе округлений.

Впервые такие поправки были предложены У. Шеппардом (Sheppard. 1898). Пусть $X$ – непрерывно распределённая случайная величина, плотность вероятности которой $p(x)$, $x \in \mathbb{R}^1$, имеет всюду непрерывную на $\mathbb{R}^1$ производную $p^{(s)}(x)$ порядка $s$ такую, что

$$p^{(s)}(x)=O\left(|x|^{-1-\delta}\right)\, \text { при }\, x \rightarrow \infty$$для некоторого $\delta>0$, и пусть существует момент $\alpha_k= {\mathsf E} X^{k}$. Далее, пусть задана система округлений результатов наблюдений (т. e. заданы начало отсчёта $x_0$ и шаг $h$, $h>0$), выбор которой приводит к тому, что вместо реализаций исходной непрерывной случайной величины $X$ в действительности наблюдаются реализации $x_m = x_0+m h$, $m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ дискретной случайной величины

$$Y=x_0+h\left[\frac{X-x_0}{h}+\frac{1}{2}\right],$$где $[a]$ – целая часть числа $a$. Моменты $a_i=\mathsf{E} Y^i$, $i=1, 2,\ldots, k$, случайной величины $Y$ вычисляются по формуле

$$\begin{aligned} a_i&=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x_m^i P\left\{Y=x_m\right\}= \\ & =\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x_m^i \int_{x_m-h / 2}^{x_m+h / 2} p(x)\, dx. \end{aligned}$$Вообще говоря, $a_i \neq \alpha_i$. В связи с этим возникает вопрос: можно ли подправить моменты $a_1, a_2, \ldots, a_k$ так, чтобы они давали «хорошие» приближения для моментов $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$? Поправки Шеппарда дают положительный ответ на этот вопрос.

Пусть $g(t)$ – характеристическая функция случайной величины $X$, $f(t)$ – характеристическая функция случайной величины $Y$, и пусть

$$\varphi(t)=\mathsf{E} e^{i t \eta}=\frac{2}{t h} \sin \frac{t h}{2}$$– характеристическая функция случайной величины $\eta$, которая равномерно распределена на интервале $\displaystyle\left[-\frac{h}{2}, \frac{h}{2}\right]$ и стохастически независима от $X$. В этих условиях при малом $h$

$$f(t)=g(t) \varphi(t)+O\left(h^{s-1}\right),$$откуда следует, что моменты дискретной случайной величины $Y$ совпадают с точностью до $O\left(h^{s-1}\right)$ с моментами случайной величины $X+\eta$ и, следовательно, с точностью до $O\left(h^{s-1}\right)$ имеют место следующие равенства

$$\begin{aligned} \alpha_1&=a_1, \quad \alpha_4=a_4-\frac{1}{2} a_2 h^2+\frac{7}{240} h^4, \\ \alpha_2&=a_2-\frac{1}{12} h^2, \quad \alpha_5=a_5-\frac{5}{6} a_3 h^2+\frac{7}{48} a_1 h^4, \\ \alpha_3&=a_3-\frac{1}{4} a_1 h^2, \\ \alpha_6 &=a_6-\frac{5}{4} a_4 h^2+\frac{7}{16} a_2 h^4-\frac{31}{1344^4} h^6, \ldots, \end{aligned}$$которые и содержат так называемые поправки Шеппарда к моментам $a_1, a_2, \ldots, a_k$.