Полупсевдоевкли́дово простра́нство, векторное пространство с вырожденной индефинитной метрикой. Полупсевдоевклидово пространство ${}^{l_1\ldots l_r}R_n^{m_1\ldots m_{r-1}}$ определяется как $n$-мерное пространство, в котором задано $r$ скалярных произведений

$$(x, y)_a=\sum \varepsilon_{i_a} x^{i a} y^{i a},$$где $0=m_0<m_1<\ldots <m_p=n$; $a=1,2, \ldots, r$; $i_d=m_{a-1}+1, \ldots, m_a$, $\varepsilon_i= \pm 1$, причём – $1$ среди чисел $\varepsilon_{i_a}$ встречается $l_a$ раз. Произведение $(x, y)_a$ определено для тех векторов, для которых все координаты $x^l$ при $i \leqslant m_{a-1}$ равны нулю. На этих векторах справедливо равенство $(x, y)_{a-1}=0$. Первый скалярный квадрат произвольного вектора $x$ полупсевдоевклидова пространства является вырожденной квадратичной формой от координат вектора:

$$(x, x)=-\left(x_1\right)^2-\left(x_2\right)^2-\ldots-\left(x^{l_1}\right)^2+\left(x^{l+1}\right)^2+\ldots +\left(x^{n-d}\right)^2,$$где $l$ – индекс, $d=n-m_1$ – дефект полупсевдоевклидова пространства. При $l_1=l_2=\ldots=l_r=0$ полупсевдоевклидово пространство является полуевклидовым пространством. В полупсевдоевклидовом пространстве определяются $m$-мерные плоскости $(m<n)$, прямые, параллельность, длина вектора так же, как в псевдоевклидовых пространствах. В полупсевдоевклидовом пространстве $^{l+(d)} R_n$ можно выбрать ортогональный базис, состоящий из $l$ векторов мнимой длины, $n-l-d$ вещественной длины и $d$ изотропных векторов. Через каждую точку полупсевдоевклидова пространства дефекта $d$ можно провести $d$-мерную изотропную плоскость, каждый вектор которой ортогонален всем векторам полупсевдоевклидова пространства. См. также в статье Галилеево пространство.