Отрица́тельное полиномиа́льное распределе́ние, совместное распределение вероятностей случайных величин $X_1,\dots,X_k$, принимающих неотрицательные целые значения $m=0,1,2,\dots$, заданное формулой$$\mathbf P\{X_1=m_1,\dots, X_k=m_k\} = \frac{\Gamma(r+m_1+\dots+m_k)}{\Gamma(r) m_1!\dots m_k!} p_0^r p_1^{m_1}\dots p_k^{m_k},\tag{$\ast$}$$где $r>0$, $p_0,\dots, p_k$ ($0<p_i<1$, $i=0,\dots, k$; $p_0+\dots+p_k=1$) – параметры. Отрицательное полиномиальное распределение является многомерным дискретным распределением – распределением случайного вектора $(X_1,\dots, X_k)$ с неотрицательными целочисленными компонентами.

Производящая функция отрицательного полиномиального распределения с параметрами $r$, $p_0,\dots, p_k$ имеет вид$$P(z_1,\dots,z_k) = p_0^r \big(1-\sum_{i=1}^k z_i p_i\big)^{-r}.$$Отрицательное полиномиальное распределение возникает в следующей полиномиальной схеме. Производятся последовательные независимые испытания, и в каждом испытании возможны $k+1$ различных исходов с индексами $0,1,\dots,k$, которым соответствуют вероятности $p_0,p_1,\dots,p_k$. Испытания продолжаются до $r$-го появления исхода с индексом $0$ (здесь $r$ – целое). Если $X_i$ – число появлений исхода с индексом $i$, $i=1,\dots, k$, за время до конца испытаний, то формула $(\ast)$ выражает вероятность появления исходов с индексами $1,\dots,k$ соответственно $m_1,\dots, m_k$ раз до $r$-го появления исхода $0$. Отрицательное полиномиальное распределение в указанном смысле служит обобщением отрицательного биномиального распределения, совпадая с последним при $k=1$.

Если случайный вектор $(X_0,\dots,X_k)$ имеет полиномиальное распределение с параметрами $n > 1$, $p_0,\dots,p_k$, и параметр $n$ сам является случайной величиной, имеющей отрицательное биномиальное распределение с параметрами $r>0$, $0 < \pi < 1$, то распределение вектора $(X_1,\dots,X_k)$ при условии $X_0=r$ является отрицательным полиномиальным распределением с параметрами $r$, $p_0(1–\pi), \dots, p_k(1-\pi)$.