Распределе́ние оме́га-квадра́т, распределение вероятностей случайной величины

$$\omega^2=\int_0^1 Z^2(t)\, d t,$$где $Z(t)$ – условный винеровский процесс. Характеристическая функция «омега-квадрат» распределения выражается формулой

$$\mathrm{E} e^{i t \omega^2}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{2 i t}{\pi^2 k^2}\right)^{-1 / 2}.$$В математической статистике распределение омега-квадрат часто встречается в связи со следующим обстоятельством. Пусть $X_1, \ldots, X_n$ – независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$, по которым построена функция эмпирического распределения $F_n(\cdot)$. В этом случае процесс

$$Z_n(t)=\sqrt{n}\left(F_n(t)-t\right)$$слабо сходится к условному винеровскому процессу, откуда следует, что

$$\begin{gathered} \lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left\{\int_0^1 Z_n^2(t)\, d t<\lambda\right\} =\mathrm{P} \left\{\omega^2<\lambda\right\}= \\ =1-\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \int_{(2 k-1) \pi}^{2 k \pi} \frac{e^{-t^2 \lambda / 2}}{\sqrt{-t \sin t}}\, d t,\quad \lambda>0. \end{gathered}$$См. также в статье Критерий Крамера – Мизеса.