Ме́тод вынужде́ния (форсинг-метод), особый способ доказательства существования моделей аксиоматических теорий, предложенный П. Коэном в 1963 г. для доказательства совместимости отрицания континуум-гипотезы $\neg$$\mathrm{CH}$ и других теоретико-множественных предложений с аксиомами системы Цермело – Френкеля $\mathrm{ZF}$ (Коэн. 1969). В дальнейшем метод вынуждения был упрощён и модернизирован (см. Йех. 1973; Takeuti. 1973; Fitting. 1969); выявилась, в частности, связь этого метода с теорией булевозначных моделей (см. Йех. 1973, Takeuti. 1973) и моделями Крипке (Fitting. 1969).

Центральным понятием метода вынуждения является отношение вынуждения

$$p \Vdash\varphi$$(«условие $p$ вынуждает формулу $\varphi$»).

Определению отношения вынуждения предшествует фиксирование некоторого языка $L$ и частично упорядоченного множества $P$ вынуждающих условий $p$ с отношением порядка $<$. Язык $L$ может содержать переменные и константы разных сортов (или типов).

Построение модели $\mathrm{ZF}$, предложенное П. Коэном, в которой нарушается континуум-гипотеза, выглядит следующим образом. Множество $M$ называется транзитивным, если

$$x \in M \longrightarrow x \subseteq M.$$Пусть $M$ – счётное транзитивное множество, являющееся моделью $\mathrm{ZF}$, и $\lambda \in M$ – ординальное (по Нейману) число, т. е. $\lambda=\{\alpha: \alpha<\lambda\}$. Пусть $A \subseteq \lambda \times \omega_0$ – произвольное множество (возможно, что $A \notin M$), где $\omega_0$ – первое бесконечное ординальное число. Если $X$ – транзитивное множество, то пусть $\operatorname{Def}(X)$ обозначает множество всех $X$-определимых подмножеств (см. Конструктивное по Гёделю множество), т. е. $\operatorname{Def}(X)=\operatorname{Def}(X, \in | X)$. С помощью процесса, аналогичного построению конструктивных по Гёделю множеств, для каждого ординального числа $\alpha$ индуктивно определяется множество $M_\alpha[A]$:

$$M_\alpha[A]=\cup_{\beta<\alpha} \operatorname{Def}\left(M_\beta[A]\right) \cup\left\{x \in M \cup\{A\}: x \subseteq M_\beta[A]\right\}.$$Пусть $M[A]=M_{\alpha_0}[A]$, где $\alpha_0=\sup \{\alpha \in M: \alpha - \text{ординал} \}$. Модель $\mathrm{ZF}$, в которой нарушается континуум-гипотеза, ищется среди моделей вида $M[A]$. Пусть $\lambda$ – ординал такой, что в $M$ истинно утверждение: $\lambda$ есть второй несчётный ординал.

Множество вынуждающих условий $P$ и отношение $\leqslant$ определяются эквивалентностями: а) $p \in P \Longleftrightarrow p$ – функция, определённая на некотором конечном подмножестве множества $\lambda \times \omega_0$, со значениями в множестве $\{0,1\}$, b) $p\leqslant q \Longleftrightarrow q$ есть продолжение $p$. В качестве языка $L$ берётся т. н. разветвлённый язык, имеющий много типов переменных (для каждого $\alpha \leqslant \alpha_0$ свой тип переменных, пробегающих множество $M_\alpha[A]$) и содержащий имена (т. е. индивидные константы) для каждого множества из $M[A]$. Если $x \in M$, то имя $x$ обозначается через $x\,\check{}$. Пусть $a$ – имя множества $A$. Отношение вынуждения $p \Vdash\varphi$ вводится индуктивным определением, имеющим, в частности, следующие характерные пункты:

(1) $p \Vdash \left(\langle\delta n\rangle\,\check{} \in a\right) \Longleftrightarrow p(\langle\delta n\rangle)=1$,

(2) $p \Vdash(\neg \varphi) \Longleftrightarrow \neg \exists q \geqslant p(q \Vdash\varphi)$,

(3) $p\Vdash(\varphi \vee \psi) \Longleftrightarrow p \Vdash \varphi \vee p \Vdash \psi$,

(4) $p \Vdash(\varphi \wedge \psi) \Longleftrightarrow p \Vdash \varphi \wedge p \Vdash \psi$.

Если $\alpha$ – тип переменной $x$, то

$$(5)\,\,p \Vdash \exists x \varphi(x) \Longleftrightarrow \exists c \in C_\alpha p \Vdash\varphi(c),$$где $C_\alpha$ – множество всех констант типа $\alpha$.

Последовательность вынуждающих условий

$$p_0 \leqslant p_1 \leqslant p_2 \leqslant \ldots \leqslant p_n \leqslant \ldots$$называется полной, если для всякой замкнутой формулы $\varphi$ языка $L$ имеет место

$$\exists n\left(p_n \Vdash \varphi \vee p_n \Vdash \neg \varphi\right).$$Счётность множества всех замкнутых формул языка $L$ и пункт (2) определения отношения вынуждения позволяют доказать существование полной последовательности, начиная с любого $p_0$.

Множество $A$, содержащееся в $\lambda \times \omega_0$, называется генерическим относительно модели $M$, если существует такая полная последовательность, что $\cup_{n \leqslant \omega_0} p_n$ есть характеристическая функция $\chi_A$ множества $A$. Фундаментальное значение имеют следующие два факта о генерических множествах и отношении вынуждения.

I. Если $A$ – генерическое множество, то

$$M[A]|=\varphi \Longleftrightarrow \exists p \subseteq \chi_A(p \Vdash \varphi),$$где $M[A] \mid=\varphi$ означает, что формула $\varphi$ истинна в $M[A]$.

II. Отношение

$$p \Vdash \varphi\left(c_1, \ldots, c_n\right),$$где $c_1, \ldots, c_n$ – константы $L$, рассматриваемое как отношение между $p, c_1, \ldots, c_n$, выразимо в модели $M$.

В силу этих фактов, для доказательства того, что ${M}[A] \mid=\varphi$, достаточно показать истинность в модели ${M}$ утверждения

$$\forall p(p \Vdash \neg\neg \varphi),\, \text { т. е. }\, \forall p \exists q \geqslant p(q \Vdash \varphi).$$На этом основана проверка справедливости в модели $M[A]$ аксиом ZF и CH. При проверке $\neg \mathrm{CH}$ в $M[A]$ используется также специфика множества вынуждающих условий, позволяющая доказать, что:

1) если ординалы $\delta_1, \delta_2<\lambda$ различны, то

$$\forall p \exists q \geqslant p \exists n<\omega_0\left(q\left(\left\langle\delta_1 n\right\rangle\right) \neq q\left(\left\langle\delta_2 n\right\rangle\right)\right),$$т. е.

$$A_{\delta_1} \neq A_{\delta_2},\, \text { где }\, A_\delta=\{n \mid\langle\delta n\rangle \in A\};$$2) $M[A] \mid=(\lambda$ есть второй несчётный ординал$)$.

Укажем, как отношение вынуждения связано с булевозначными моделями.

Если ввести обозначения

$$\begin{gathered} \|\varphi\|=\{p \in P: p \Vdash \neg\neg \varphi\}, \\ \mathbb{B}=\{X \subseteq P: \forall p(p \in X \leftrightarrow \forall q \geqslant p \exists r \geqslant q(r \in X))\}, \end{gathered}$$то $(\mathbb{B}, \subseteq)$ есть полная булева алгебра и $\|\varphi\| \in \mathbb{B}$ есть булево значение формулы $\varphi$. Таким образом, задание частично упорядоченного множества $(P, \leqslant)$ и определение отношения $p \mid \vdash\neg\neg \varphi$ оказываются равносильными построению некоторой булевозначной модели $\frak M$. Анализ доказательства утверждений вида:

$$M[A]|=\varphi_0,$$где $\varphi_0$ – аксиома ZF или $\neg\mathrm{CH}$, позволяет заключить, что формулы $\mathrm{ZF}$, выражающие утверждение:

$$\forall p\left(p \Vdash \neg\neg \varphi_0\right),$$т. е. $\|\varphi\|=1_B$, выводимы из аксиом $\mathrm{ZF}$. Таким образом, $\mathfrak{M}$ есть $B$-модель для $\mathrm{ZF}+ \neg \mathrm{CH}$, построенная средствами $\mathrm{ZF}$. Предположение о существовании счётного транзитивного множества, являющегося моделью $\mathrm{ZF}$, равно как и понятие генерического множества, оказываются несущественными для целей доказательства относительной непротиворечивости.

Выяснилось, что построение булевозначной модели можно упростить (Йех. 1973, Takeuti. 1973, Манин. 1975). В частности, введение разветвлённого языка $L$ не является обязательным. Возможен следующий способ построения генерической модели $M[A]$ (см. Шенфилд. 1975).

Подмножество $X$ частично упорядоченного множества $(P, \leqslant)$ называется плотным, если

$$\forall p \exists q \geqslant p(q \in X).$$Пусть $P$ и отношение $\leqslant$ суть элементы некоторого счётного транзитивного множества $M$, являющегося моделью $\mathrm{ZF}$. Подмножество $G \subseteq P$ называется $M$-генерическим фильтром, если:

1) $p \in G \wedge q \leqslant p \rightarrow q \in G$,

2) $p \in G \wedge q \in G \rightarrow \exists r \in G(p \leqslant r \wedge q \leqslant r)$,

3) ($X \in M \wedge X$ плотно на $P$)$\rightarrow X \cap G \neq \varnothing$.

Пусть $G$ есть $M$-генерический фильтр на $P$. Так как $M$ счётно, то $G$ существует. Вообще говоря, $G \notin M$. Отношение $\in_G$ определяется эквивалентностью

$$x \in_G y \longleftrightarrow \exists p \in G(\langle x p\rangle \in y),$$где $x$ и $y$ – произвольные элементы модели $M$.

Пусть функция $F_G$ определена на $M$ равенством

$$F_G(y) =\left\{F_G(x): x \in_G y\right\}$$и

$$N_G =\left\{F_G(x): x \in M\right\}.$$Если $\varphi$ – замкнутая формула языка $\mathrm{ZF}$, пополненного константами для обозначения каждого множества из $M$, то положим

$$\begin{gathered} p \Vdash \varphi \longleftrightarrow \forall G \ni p(G \text { есть } M \text {-генерический фильтр } \rightarrow \\ \left.\rightarrow N_G \mid=\varphi\right) . \end{gathered}$$Можно показать, что

I. $N_G \mid=\varphi \longleftrightarrow \exists p \in G(p \Vdash\varphi)$.

II. Отношение $p \Vdash\varphi\left(c_1, \ldots, c_n\right)$ определимо в модели $M$ для каждой формулы $\varphi$.

Используя только I, II и тот факт, что $M$ – модель $\mathrm{ZF}$, можно установить, что $N_G$ – модель $\mathrm{ZF}$. Если $P$ определено эквивалентностями (a) и (b), то $N_G |=\neg \mathrm{CH}$ и $\bigcup G$ есть характеристическая функция некоторого множества $A \subseteq \lambda \times \omega_0$ и $M[A]=N_G$. Определимое в $M$ отношение $p \Vdash\varphi$ не удовлетворяет пунктам (3) и (5) определения П. Коэна отношения вынуждения. Имеет место

$$p \Vdash \exists x \varphi(x) \longleftrightarrow \forall p^{\prime} \geqslant p \exists p^{\prime \prime} \geqslant p^{\prime} \exists a \in M\left(p^{\prime \prime} \Vdash \varphi(a)\right).$$Полагая

$$\|\varphi\|=\{p \Vdash \varphi\},$$получим определимую в $M$ булевозначную модель для $\mathrm{ZF}+\neg \mathrm{CH}$ с той же булевой алгеброй $\mathbb{B}$, что и в случае П. Коэна.

Таким образом, метод вынуждения состоит фактически в построении $\mathbb{B}$-модели и гомоморфизма, сохраняющего некоторые бесконечные объединения и пересечения алгебры $\mathbb{B}$, в двухэлементную алгебру $\{0,1\}$ (о применениях метода вынуждения в теории множеств см., например, Йех. 1973).