Ме́тод Ве́йля в теории чисел, метод для получения нетривиальных оценок тригонометрических сумм вида
$$\tag{1} S(f)=\sum_{1 \leqslant x \leqslant p}e^{2 \pi i f(x)},$$где

$$f(x)=\alpha_n x^n+\ldots+\alpha_1 x,$$a $\alpha_n, \ldots, \alpha_1$ – любые действительные числа. Метод Вейля был разработан Г. Вейлем (Weyl. 1916) для установления критериев равномерного распределения.

Сущность метода Вейля заключается в следующем. Сумма $(1)$ возвышается в степень $\rho_0=2^{n-1}$ путём последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена $f(x)$. Например, на первом шаге

$$S^2(f)=\sum_{\lambda_1 \neq 0} \sum_x e^{2 \pi i\left(f\left(x+\lambda_1\right)-f(x)\right)}+O(P),$$где суммирования производятся по интервалам длины $\ll P$,

$$f\left(x+\lambda_1\right)-f(x)=n \alpha_n \lambda_1 x^{n-1}+\ldots$$является многочленом степени $n-1$ относительно $x$ [символы $O(P)$ и $\ll P$ обозначают величины порядка $P$]. На $(n-1)$-м шаге приходят к внутренней сумме
$$\tag{2} S(\alpha)=\sum_{x=a+1}^{a+P_1} e^{2 \pi i \alpha x},$$где $P_1 \leqslant P$, $\alpha=n ! \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_{n-1} \alpha_n$, $\lambda_i \neq 0$. Суммы вида

$(2)$ оцениваются с помощью неравенства:

$$|S(\alpha)| \leqslant \min \left(P_1, \frac{1}{|\sin \pi \alpha|}\right).$$В результате получается оценка:

$$\tag{3} |S(f)|^{\rho_0} \leqslant P^{\rho_0-1}+P^{\rho_0-n+\varepsilon} \sum_{0<y \leqslant P^{n-1} }\min\left(P_1, \frac{1}{\left|\sin \pi y \alpha_n\right|}\right) \text {. }$$Из неравенства $(3)$ выводятся различные оценки суммы $(1)$ в случае, когда $\frac{1}{\left|\sin \pi y \alpha_n\right|}$ будет величиной, малой по сравнению с $P$. Эти оценки зависят от точности, с которой коэффициент $\alpha_n$ многочлена $f(x)$ аппроксимируется рациональными дробями.

Пример. Пусть

$$\left|\alpha_n-\frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q^2}, \quad(a, q)=1 .$$Тогда имеет место неравенство

$$|S(f)| \ll P^{1+\varepsilon} q^{\varepsilon}\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{q}+\frac{q}{P^n}\right)^{\rho_0} \text {. }$$В частности, если

$$P \leqslant q \leqslant P^{n-1},$$то

$$|S(f)| \ll P^{1-\rho_0+\varepsilon} .$$Метод Вейля позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки $(3)$ и её следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена $f(x)$. Решение проблемы Варинга, данное в 1920 г. Г. Харди и Дж. Литлвудом, опиралось на оценку сумм $(1)$ с помощью метода Вейля. При этом им удалось оценить значения $r=r(k)$, для которых уравнение

$$N=x_1^k+\ldots+x_r^k$$($N>0$ – целое, $x_i$ – целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки $(3)$ на случай функций $f(x)$, не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению некоторых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотической формуле для числа $\pi(N)$ простых чисел, не превосходящих $N$).

Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью метода Вейля, объясняется высокой степенью $\rho_0$, в которую возвышается сумма $S(f)$. Некоторое усовершенствование оценок сумм $(1)$ дал И. ван дер Корпют. C помощью метода Виноградова получается весьма точная оценка сверху для интеграла

$$\int_0^1 \cdots \int_0^1|S(f)|^{2 b} d \alpha_n \ldots d \alpha_1$$уже при $b \geqslant c n^2$ ($c>0$ – константа, $n \geqslant 2$). Из этой оценки выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля $(1)$ (с понижающим множителем $P-\rho$, $\rho=c_1 n^2 \ln n$, $c_1>0$ – константа), недосягаемые для метода Вейля.