Ме́тод Ро́мберга (правило Ромберга), метод вычисления определённого интеграла, основанный на экстраполяции Ричардсона. Пусть вычисляется значение $I$ некоторого функционала, при этом вычисляемое приближённое значение $T(h)$ зависит от параметра $h$, так что в результате вычисления получается приближённое равенство $I\cong T(h)$. Пусть известна информация о поведении разности $I-T(h)$ как функции от $h$, а именно:$$I-T(h) = \alpha h^m,\tag{1}$$где $m$ – натуральное число и $\alpha$ зависит от приближаемого функционала и той функции, на которой он вычисляется, от способа приближения и (слабо) от $h$. Если наряду с $T(h)$ вычислено $T(2h)$, то способ Ричардсона даёт для $I$ приближение$$I\cong\frac{2^m T(h)-T(2h)}{2^m -1}.\tag{2}$$Это приближение тем лучше, чем слабее $\alpha$ из равенства $(1)$ зависит от $h$. В частности, если $\alpha$ от $h$ не зависит, то в $(2)$ имеет место точное равенство.

Метод Ромберга применяется к вычислению интеграла$$I = \int_0^1 f(x)\, dx.$$Промежуток $[0,1]$ взят для простоты записи, он может быть любым конечным. Пусть$$T_{k0} \overset{\rm def}{=} 2^{-k-1}\Big[ f(0)+2\sum_{j=1}^{2^k-1} f(j 2^{-k}) + f(1)\Big],\tag{3}$$$$k=0,1,2,\dots.$$Вычисления в методе Ромберга сводятся к составлению следующей таблицы:$$\begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & \dots & T_{0, n-1} & T_{0 n} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & \dots & T_{1, n-1} & \ \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \ & \ \\ T_{n-2,0} & T_{n-2,1} & T_{n-2,2} & \ & \ & \ \\ T_{n-1, 0} & T_{n-1, 1} & \ & \ & \ & \ \\ T_{n0}, & \ & \ & \ & \ & \ \end{matrix}$$где первый столбец состоит из квадратурных сумм $(3)$ формулы трапеций. Элементы $(l+2)$-го столбца получаются из элементов $(l+1)$-го столбца по формуле$$T_{k,l+1} = \frac{2^{2l+2} T_{k+1,l}- T_{kl}}{2^{2l+2}-1},\quad k=0,1,2,\dots, n-l-1.\tag{4}$$При составлении таблицы главная часть вычислительного труда затрачивается на вычисление элементов первого столбца. Элементы следующих столбцов вычисляются чуть сложнее конечных разностей.

Каждый элемент $T_{kl}$ таблицы есть квадратурная сумма, приближающая интеграл$$I\cong T_{kl}.\tag{5}$$Узлами квадратурной суммы $T_{kl}$ являются точки $j2^{-k-1}$, $j=0,1,2,\dots, 2^{k+l}$, а её коэффициенты – положительные числа. Квадратурная формула $(5)$ точна для всех многочленов степени не выше $2l+1$.

В предположении, что подынтегральная функция $f(x)$ имеет непрерывную производную порядка $2l+2$ на $[0, 1]$, разность $I-T_{kl}$ имеет представление вида $(1)$, в котором $m=2l+2$. Отсюда следует, что элементы $(l+2)$-гo столбца, вычисляемые по формуле $(4)$, являются улучшениями по Ричардсону элементов $(l+1)$-гo столбца. В частности, для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление$$I-T_{k0} = -\frac{f''(\xi)}{12} h^2,\quad h=2^{-k},\quad \xi \in [0,1],$$и способ Ричардсона даёт более точное приближение к $I$:$$T_{k1} = \frac{4 T_{k+1,0}-T_{k0}}{3},\quad k=0,1,2,\dots,n-1.$$$T_{k1}$ оказывается квадратурной суммой формулы Симпсона, и т. к. для погрешности этой формулы справедливо представление$$I-T_{k1} = -\frac{f^{(IV)}(\eta)}{180} h^4,\quad h=2^{-k-1},\quad \eta\in [0,1],$$то снова можно воспользоваться способом Ричардсона и т. д.

В методе Ромберга в качестве приближения к $I$ берётся $T_{0n}$, при этом предполагается, что существует непрерывная производная $f^{(2n)}(x)$ на $[0, 1]$. Ориентировочное представление о точности приближения $T_{0n}$ можно получить, сравнивая $T_{0n}$ и $T_{1,n-1}$.

Впервые метод изложен В. Ромбергом (Romberg. 1955).