Экстраполя́ция Ри́чардсона, метод ускорения сходимости решений разностных задач (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной). Основная идея метода состоит в исследовании решения $u_h(x)$ сходящейся разностной задачи при фиксированных $x$ как функции параметра $h$ разностной сетки, стремящегося к нулю, в подборе подходящей интерполяционной функции $\chi (h)$, построенной по нескольким значениям решения $u_h (x)$ при различных $h$, и вычислении величины $\chi (0)$, являющейся приближённым значением искомого решения $u(x)$ – предела последовательности $u_h (x)$ при $h\to0$. Чаще всего функция $\chi (h)$ ищется в виде интерполяционного многочлена от $h$.

Метод носит имя Л. Ричардсона (Richardson. 1911), который впервые использовал его как средство для улучшения точности решений разностных задач и называл постепенным переходом к пределу.

Теоретической основой применимости метода служит существование разложения вида$$u _ {h} (x) = u (x) + \sum _ { i=1 } ^ { m-1} h ^ {\beta _ {i} } \nu _ {i} (x) + h ^ {B} \eta _ {h} (x) ,$$где $B > \beta _ {m-1} > \dots > \beta _ {1} > 0$ и функции $\nu_i$ не зависят от $h$, а $\eta _ {h} (x)$ – значения сеточной функции, ограниченные при $h\to0$. Имеется несколько теоретических приёмов для выяснения существования таких разложений (Марчук. 1979).

Чаще всего используется линейная экстраполяция: с помощью $m$ значений $u_h(x)$ в одной точке $x$ для различных параметров $h = h _ {1}, \dots, h _ {m}$ вычисляется экстраполированное значение $u _ {H} (x)$ по правилу$$u _ {H} (x) = \ \sum _ { k=1 } ^ { m } \gamma _ {k} u _ {h _ {k} } (x) ,$$где веса $\gamma _ {k}$ определяются из системы уравнений:$$\sum _ { k=1 } ^ { m } \gamma _ {k} = 1 ; \quad \sum _ { k=1 } ^ { m } \gamma _ {k} h _ {k} ^ {\beta _ {i} } = 0 ,\quad i = 1, \dots, m -1 .$$Если среди $h_k$ нет слишком близких значений, то$$| u _ {H} (x)-u (x) | = O ({h\!\!\!\!{^-}}^ {B}) ,$$где ${h\!\!\!\!{^-}} = \max\limits _ {1 \leqslant k \leqslant m } h _ {k}$, то есть величина $u _ {H} (x)$ сходится к $u (x)$ при $h\to0$ с порядком $B$, что больше $\beta_1$ – порядка сходимости $u_h(x)$ к $u (x)$. В двух частных случаях существуют алгоритмы вычисления величины $u _ {H} (x)$, минуя определение коэффициентов $\gamma _ {k}$:

а) в случае $\beta _ {i} = i p$, $p > 0$, $i = 1, \dots, m-1$, метод приводит к интерполяции многочлена от $h^p$ и из свойств интерполяционной формулы Лагранжа следует, что$$u _ {H} (x) = a _ {1} ^ {(m-1)} ,$$где$$a _ {j} ^ {(0)} = u _ {h _ {j} } (x) ,\quad j = 1, 2,\dots, m ;$$$$a _ {j} ^ {(i)} = a _ {j+ 1} ^ {(i-1)} + \frac{ a _ {j+1} ^ {(i-1)}-a _ {j} ^ {(i-1)} }{(h _ {j} / h _ {i+j}) ^ {p-1} }  , \quad (*) \\ j = 1, \dots, m-i ,\quad i = 1, \dots, m-1;$$б) в случае $h _ {i} = h _ {0} b ^ {i}$, $0 < b < 1$, $i = 1, \dots, m-1$, формула $(*)$ заменяется следующей:$$a _ {j} ^ {(i)} = a _ {j+1} ^ {(i-1)} + \frac{a _ {j+1} ^ {(i-1)}-a _ {j} ^ {(i-1)} }{b ^ {\beta _ {i-1} } }.$$Этот алгоритм, называемый правилом Ромберга (Romberg. 1955), нашёл распространение при конструировании квадратурных формул (см. Бахвалов. 2021). Для того чтобы при различных $h_i$ сетки $D _ {h _ {i} U }$ (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным) имели возможно больше общих узлов для осуществления экстраполяции Ричардсона, параметры $h_i$ выбирают как часть одной из последовательностей: $h _ {i} = h _ {0} / i$, $i = 1 , 2 ,\dots$; $h _ {i} = h _ {0} 2 ^ {1-i}$, $i = 1 , 2 ,\dots$; $h _ {0}$, $h _ {0} / 2$, $h _ {0} / 3$, $h _ {0} / 4$, $h _ {0} / 6$, $h _ {0} / 8$, $h _ {0} / 12, \dots .$

Линейная экстраполяция не является единственно возможной. Например, в случае $\beta _ {i} = i p$, $p > 0$, в качестве интерполяционной функции $\chi (h)$ используют рациональные функции вида $\varphi (h ^ {p}) / \psi (h ^ {p})$, где $\varphi (t)$, $\psi (t)$ – многочлены от $t$ степени $[ (m-1)/2 ]$ и $[ m/2]$ соответственно. Тогда результат рациональной экстраполяции $u _ {H} (x) = \chi (0)$ может быть вычислен с помощью рекуррентной процедуры:$$d _ {j} ^ {(-1)} = 0 ,\quad j = 2, \dots, m ;$$$$d _ {j} ^ {(0)} = u _ {h _ {j} } (x) ,\quad j = 1,2,\dots, m ;$$$$d _ {j} ^ {(i)} = d _ {j+1} ^ {(i-1)} +\left (d _ {j+1} ^ {(i-1)}-d _ {j} ^ {(i-1)}\right) \times \left \{ \left (\frac{h _ j}{h _ {i+j}}  \right) ^ {p} \left [ 1-\frac{d _ {j+1} ^ {(i-1)}-d _ {j} ^ {(i- 1)} }{d _ {j+1} ^ {(i- 1)}-d _ {j+1} ^ {(i-1)} }  \right ]-1 \right \} ^ {-1} , \\ j = 1, \dots, m-i ,\quad i = 1, \dots, m-1; \\ \quad u _ {H} (x) = d _ {1} ^ {(m-1)} .$$Экстраполяция Ричардсона удобна для реализации на ЭВМ, поскольку для достижения высокой точности использует многократное решение простых разностных задач (иногда с небольшими модификациями) невысокого порядка аппроксимации, для которых обычно хорошо разработаны стандартные приёмы решения и программы для ЭВМ.