Ме́тод регуляриза́ции, метод построения приближённых решений некорректных задач, состоящий в том, что в качестве приближённых решений некорректных задач (точнее – некорректно поставленных задач) берутся значения регуляризирующего оператора с учётом приближённого характера исходной информации.

Для определённости ниже рассматривается задача нахождения решений функциональных уравнений вида $A z=u$, в которых $z$ и $u$ – элементы метрических пространств $F$ и $U$ с расстоянием $\rho_F(,)$ и $\rho_U(,)$. Если, например, $A$ – вполне непрерывный оператор, то решения такого уравнения не обладают свойством устойчивости к малым изменениям правой части $u$. Пусть вместо точных значений исходной информации $(\bar{A}, \bar{u})$ даны их приближения $(\tilde{A}, \tilde{u})$. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближений к решению $\bar{z}$ уравнения $\bar{A}z=\bar{u}$. Нельзя в качестве приближённого решения некорректно поставленных задач такого вида с приближённой исходной информацией $(\tilde{A}, \tilde{u})$ брать точное решение уравнения $\tilde{A} z=\tilde{u}$, т. к. такого решения может не существовать, а если оно и существует, то не будет устойчивым к малым изменениям исходной информации, и, следовательно, такое «решение» может не допускать физической интерпретации. В дальнейшем полагается для простоты, что приближённой может быть лишь правая часть $u$, а оператор $A$ задан точно.

Пусть $\delta$ – оценка уклонения $\tilde{u}$ от $\bar{u}$, т. е. расстояния $\rho_U(\tilde{u}, \bar{u})$, и $F_0 \subset F$ – заданный класс возможных решений (моделей сравнения). Естественно искать приближённые решения уравнения $A z=\tilde{u}$ среди элементов $z \in F_0$, сопоставимых с исходной информацией, т. е. таких, что $\rho_U(A z, \tilde{u}) \leqslant \delta$. Пусть $F_\delta$ – множество всех таких элементов из $F_0$. Если в выбранном классе $F_0$ возможных решений нет элементов [например, функций $z(s)$], сопоставимых с исходными данными, то это значит, что элементы $z$ из $F_0$ имеют слишком упрощённую (грубую) структуру. В этом случае надо расширять класс $F_0$, беря, возможно, последовательность расширяющихся классов $F_0 \subset F_1 \subset \ldots \subset F_n \subset \ldots$, пока не найдётся класс $F_n$, содержащий элементы (например, функции), сопоставимые с исходными данными.

Если $F_n$ не пусто, то оно может содержать существенно отличающиеся друг от друга элементы (функции). В таких случаях одно лишь требование сопоставимости возможных решений с исходными данными не может служить критерием нахождения однозначно определённых приближённых решений уравнений $A z= \tilde{u}$, т. к. нет достаточных оснований для выбора в качестве приближённого решения того или иного сопоставимого элемента из $F_n$.

Для однозначного определения устойчивых решений необходим некоторый принцип отбора сопоставимых с $\tilde{u}$ решений. Обычно его формулируют, пользуясь смыслом задачи. Такой отбор может быть произведен, например, по принципу выбора элемента (функции) из $F_n$, имеющего минимальную сложность. Понятие сложности элемента $z$ может быть формализовано, например, с помощью функционалов сложности $\Omega[z]$ – непрерывных, неотрицательных и удовлетворяющих некоторым специальным условиям (Тихонов. 1979). За меру сложности элемента $z$ принимается значение функционала $\Omega[z]$. Так, если элементами $z$ являются непрерывные на отрезке $[a, b]$ функции $z(s)$ класса $W_2^1$, то функционал сложности $\Omega[z]$ можно взять, например, в виде$$\Omega[z]=\int_a^b\left\{z^2+\left(\frac{d z}{d s}\right)^2\right\} d s.$$Желание искать приближённые решения уравнений $A z=\tilde{u}$ среди простейших элементов (функций), сопоставимых с исходными данными, приводит к задаче нахождения элемента из $F_\delta$, минимизирующего $\Omega[z]$ на $F_\delta$. Если оператор $A$ линейный и функционал $\Omega[z]$ не имеет локальных минимумов на области своего определения $F_{\Omega}$, то эта задача может быть сведена [см. подробнее в (Тихонов. 1979)] к задаче нахождения элемента $z_\alpha$ из множества $F_\delta \cap F_{\Omega}$, минимизирующего функционал$$M^\alpha[z, A, \tilde{u}]=\rho_U^2(A z, \tilde{u})+\alpha \Omega[z].$$Значение параметра $\alpha$ (параметра регуляризации) должно быть согласовано с уровнем погрешности исходных данных. Его можно определить, например, по невязке, т. е. из условия $\rho_U\left(A z_\alpha, \tilde{u}\right)=\delta$, если известно число $\delta$. Но возможны и другие способы определения $\alpha$ [см. (Тихонов. 1979)]. Таким образом, параметр $\alpha$ должен зависеть от $\delta$ и $\tilde{u}$, $\alpha=\alpha(\delta, \tilde{u})$. Элемент $z_{\alpha(\delta, \tilde{u})}$ и принимается за приближённое решение уравнения $A z=\tilde{u}$. Это и есть одна из форм разработанного в (Тихонов. О решении... 1963; Тихонов. О регуляризации... 1963) метода регуляризации. Аналогично строятся приближённые решения уравнений $\tilde{A} z=\tilde{u}$ с приближённо заданным оператором $\tilde{A}$ и правой частью $\tilde{u}$. При этом минимизируется функционал типа $M^\alpha[z, \tilde{A}, \tilde{u}]$ [см., например, (Тихонов. 1979)]. Возможны и другие формы метода регуляризации и применение его к иным классам задач [см. (Тихонов. 1979)]. Метод регуляризации развит и для решения нелинейных задач [см. (Тихонов. 1979), (Лаврентьев. 1962)].