Коядро́ морфизма категории, понятие, двойственное понятию ядра морфизма. В категориях векторных пространств, групп, колец и т. п. оно описывает наибольший факторобъект объекта $B$, аннулирующий образ гомоморфизма $\alpha \colon A \rightarrow B$.

Пусть $\mathfrak{R}$ – категория с нулевыми морфизмами. Морфизм $\nu: B \rightarrow C$ называется коядром морфизма $\alpha \colon A \rightarrow B$, если $\alpha \nu=0$ и всякий морфизм $\varphi$, для которого $\alpha \varphi=0$, однозначно представи́м в виде $\varphi=\nu \psi$. Коядро морфизма $\alpha$ обозначается $\operatorname{coker} \alpha$.

Если $\nu=\operatorname{coker} \alpha$ и $\nu^{\prime}=\operatorname{coker} \alpha$, то $\nu^{\prime}=\nu \xi$ для единственного изоморфизма $\xi$.

Обратно, если $\nu= \operatorname{coker} \alpha$ и $\xi$ – изоморфизм, то $\nu^{\prime}=\nu \xi$ есть коядро морфизма $\alpha$. Таким образом, все коядра морфизма $\alpha$ образуют факторобъект объекта $B$, который обозначается $\operatorname{Coker} \alpha$. Если $\nu= \operatorname{coker} \alpha$, то $\nu$ – нормальный эпиморфизм. Обратное, вообще говоря, неверно. Коядро нулевого морфизма $0 \colon A \rightarrow B$ равно $1_B$. Коядро единичного морфизма $1_A$ существует тогда и только тогда, когда в $\mathfrak{R}$ имеется нулевой объект.

В категории $\mathfrak{R}$ с нулевым объектом морфизм $\alpha \colon A \rightarrow B$ обладает коядром в том и только в том случае, когда в $\mathfrak{R}$ существует коуниверсальный квадрат относительно морфизмов $\alpha$ и $0 \colon A \rightarrow 0$. Это условие выполнено, в частности, для любого морфизма локально малой справа категории с нулевым объектом и произведениями.